¿Por qué es $\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B) \neq \operatorname{Int}(A \cup B)$?

Question

Sé que $\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B) \subset \operatorname{Int}(A \cup B)$, pero que en el otro sentido no tiene, así que ¿alguien puede decirme por favor qué hay de malo con la siguiente prueba?

Supongamos $x \in \operatorname{Int}(A \cup B) \Rightarrow \exists \epsilon > 0 : K(x, \epsilon) \subset A \cup B$. Supongamos, sin pérdida de generatlity que $K(x,\epsilon) \subset A-B \Rightarrow x \in \operatorname{Int}(A) \Rightarrow x \in \operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B)$.

Answer 1

Porque es falso, en general, que $\operatorname{Int}(A\cup B)\subseteq \operatorname{Int}(A)\cup \operatorname{Int}(B)$: tome $A=(0,1]$$B=[1,2)$. Entonces $\operatorname{Int}(A)=(0,1)$, $\operatorname{Int}(B)=(1,2)$, pero $\operatorname{Int}(A\cup B)=(0,2)$.

Usted seguramente puede suponer sin pérdida de generalidad que $x\in A$, pero no que el vecindario $K(x,\epsilon)$ está contenida es $A$. Trate de imaginarse lo que sucede en el ejemplo anterior: $K(1,\epsilon)$ contiene elementos que son superiores a las $1$ (y pertenecen a $B$) así como los elementos que están a menos de $1$ (y pertenecen a $A$). Desde $A\cap B=\{1\}$, sin barrio de $1$ puede estar contenida en $A$ o en $B$.

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Considere la posibilidad de un caso diferente, pero que debe arrojar luz sobre su dificultad: $X=\{0,1,2\}$, $Y=\{2,3,4\}$. A continuación, $Z=\{1,3\}$ es un subconjunto de a $X\cup Y$, pero $Z$ no está contenida en ninguna de $X\setminus Y$, $Y\setminus X$ o $X\cap Y$. Que tiene de elementos que si $x\in X\cup Y$ de uno de los siguientes es verdadero: $x\in X\setminus Y$, $x\in Y\setminus X$ o $x\in X\cap Y$.

Answer 2

Si $X\subseteq A\cup B$, no tiene que ser el caso que $X\subseteq A$ o $X\subseteq B$.

Como para un caso concreto, en los números reales, tanto los racionales y su complemento han vacío interior. ¿Cuál es el interior de la unión?

Answer 3

$K(x,\epsilon) \subset A \cup B$ no implica $K(x,\epsilon) \subset A \Delta B$. No es verdad cuando se $K(x,\epsilon) \cap (A \cap B) \neq \phi$. Por ejemplo, considere el$A = (0,2)$$B = (1,3)$$x = 1.5$$\epsilon = 0.25$.

Answer 4

Usted suponer sin pérdida de generalidad que cualquier punto de $x$ que se encuentra en $A \cup B$ necesariamente se encuentra estrictamente en $A$ o estrictamente en $B$. Si el punto se encuentra en la intersección $A \cap B$ tu prueba no funciona. Usted sin embargo, han demostrado el caso de que $A$ $B$ son disjuntas.

Una extensión de la prueba diciendo que el balón $K(x, \varepsilon)$ se encuentra en su totalidad en la intersección no funcionará. Mirad por ejemplo en el siguiente ejemplo: Supongamos que dotar $\mathbb{R}$ con la topología Euclidiana, entonces podemos ver en los intervalos de $[0,1]$$[1,2]$. es claro que $$1 \in Int([0,2])$$ But we have $$ 1 \notin Int([0,1]) \qquad 1 \notin Int([1,2]) $$ Así se proporciona un contraejemplo.

Answer 5

$\operatorname{Int}([1,2]) \cup \operatorname{Int}([2,3]) =(1,2) \cup (2,3)$

$\operatorname{Int}([1,2] \cup [2,3]) = (1,3)$

$K(2, 1/10) \in \operatorname{Int}([1,2] \cup [2,3])$

No es $\epsilon$ tal que $K(2, \epsilon) \in [1,2]$ $K(2, \epsilon) \in [2,3]$