Quiero demostrar que todos los $p$-ádico número puede ser escrito como $\sum\limits_{n=-k}^{\infty}a_n p^{n}$ donde $a_n=0,1,...,p-1$. Pero me atoré con el ejemplo que se me ocurrió. Por escribir me estoy preguntando cómo calcular los coeficientes $a_n$.
Respuesta
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Escribir $3=2+1$, $3^{-1}=\sum a_n2^n$ hemos
$$1=3\cdot\sum_{n}a_n2^n = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n+a_{n-1})2^n$$
Por lo $a_0=1$, lo que implica $a_1=1$ ya que de lo contrario tenemos un $2^1$ no cancelable por nada. Esto implica $a_2+a_1+1$ tiene que ser, incluso, con el fin de educar a la siguiente potencia es decir, debe ser igual a $2$ así: hay tres sumandos, y uno de ellos es$1$, por lo que no se puede llegar a $0$ o $4$--y desde $a_1=1$ obtenemos $a_2=0$, y de nuevo vemos a $a_3+a_2+1=2$, de modo que $a_3=1$ y de manera inductiva vemos $a_n+a_{n-1}+1=2$ cada momento (desde $0$ o $4$ son imposibles) y llegamos a la conclusión de que todos los coeficientes impares se $1$ y todos los incluso los se $0$ por lo tanto
$$3^{-1} = 1 + \sum_{n=0}^\infty 2^{2n+1}$$
