Es el conjunto de $2\times 2$ invertible matrices con números enteros las entradas de un grupo bajo la multiplicación de la matriz? Yo creo que no, porque los inversos de los elementos de este conjunto no puede estar en el conjunto (es decir, no puede haber entero de entradas). Es esto correcto?
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orangeskid
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Para cualquier anillo de $A$, conmutativa, con $1$, $GL(2,A)$ es el conjunto de $2\times 2$ matrices con elementos en $A$ con determinante un elemento invertible de $A$. Para $A= \mathbb{Z}$ obtenemos $GL(2,\mathbb{Z})$ el conjunto de $2\times 2$ matrices con elementos integrales y determinante $\pm 1$. Para $A=F$ un campo que tenemos nosotros $GL(2,F)$ $2\times 2$ matrices con elementos en $F$ y determinante $\ne 0$.
Así que sí,$\ GL(2,A)$ es un grupo.
jwarzech
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El grupo lineal general $GL(2,\mathbb{Z})$ a de orden 2 sobre los números enteros es un subconjunto de la $2\times 2$ entero de las matrices que se invertible como real o racional de las matrices.
Un $2\times 2$ matriz con el entero de las entradas puede ser invertible (determinante distinto de cero) pero a la inversa tendrá entero entradas sólo si el determinante es $\pm 1$. El mayor conjunto de las matrices que forman un cancellative monoid.
Agregó: Utilizando el hecho de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, se puede demostrar fácilmente que para un entero $n\times n$ de la matriz a tiene un inverso que es también un número entero $n\times n$ matriz el determinante debe ser un número entero que es una unidad, es decir,$\pm 1$. Es decir, si $BC = I$,$|B| |C| = |I| = 1$, y si $C$ ha entero entradas, $|C|$ debe ser un entero.
Esto fácilmente se generaliza para el caso de las entradas restringidas a un anillo conmutativo $R$ con identidad, en el que los factores determinantes que deben ser unidades en el anillo si la matriz inversa es tener entradas en el ring $R$.
