Galois de un polinomio de grado 8

Question

Puede $D_{8}$ ser el grupo de Galois de $f$ donde $f$ es un polinomio de grado 8? Yo estaba pensando que el grupo de Galois debe actuar transitivamente sobre las raíces de la $f$ (si $f$ es irreductible). En ese caso $D_{8}$ no puede ser el grupo de Galois de $f$. Es eso correcto? Existe una mejor forma de abordar este problema?

Lo que si $f$ no es irreducible?

Answer 1

Mejor trabajar hacia atrás. Comenzar con una extensión de $K\supset\mathbb Q$ cuyos G-grupo que saber para ser $D_8$. Deje $\xi$ ser un elemento primitivo de $K$, entonces el polinomio mínimo de a $\xi$ $\mathbb Q$ es octic, irreductible, y todas sus raíces, tan bien como cualquiera de ellos, generar(s) $K$$\mathbb Q$.

Se espera que para squarefree $n$, el Galois cierre de $\mathbb Q(\root4\of n)$, que se obtiene por contigua $i$ así, se han $D_8$ para el G-grupo. Llamar a $\rho=\root4\of n$, casi cualquier combinación lineal de $\rho$ $i$ será un elemento primitivo. Por ejemplo, para $n=2$, se obtiene el polinomio mínimo de a$\xi=\rho+i$$X^8 +4X^6 +2X^4+28X^2+1$. Confieso que no he comprobado la irreductibilidad de esto directamente.