¿Cómo puedo resolver para $y$ en esta ecuación diferencial?

Question

$y'(t)= 3ty$ donde $y(0)=-1$. He intentado solucionar por $y$, $$\frac{1}{y}\space dy=3t\space dt$$ $$\int\frac{1}{y}\space dy=\int3t\space dt$$ $$\implies \ln(y)=\frac{3t^{2}}{2} + c$$ $$\implies y=e^{\frac{3t^{2}}{2}} \cdot e^{c}$$ $$\implies-1=e^{c}$$

De ahí que me haya ido mal en alguna parte, pero no estoy seguro de qué es. Puede alguien explicar por favor?

Answer 1

$$ \int\frac{dy} y = \ln|y|+c $$ \begin{align} |y| & = e^{3t^2/2} \times\text{a positive constant} \\[10pt] y & = e^{3t^2/2} \times\text{a constant} \end{align} (Este maneja el caso de que $y\ne 0$. Si $y=0$ $\dfrac{dy}y$ no tiene sentido, lo que tiene que ver por separado que $y=0$ todos los $x$ es una solución de la ecuación diferencial. Pero esta solución no es esa.)

Answer 2

$$y'(t)= 3ty\Longleftrightarrow$$ $$\frac{dy}{dt}=3ty\Longleftrightarrow$$ $$dy=3ty\,dt\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1}{y}dy=3t\,dt\Longleftrightarrow$$ $$\int \frac{1}{y} \,dy=\int 3t\,dt\Longleftrightarrow$$ $$\ln|y|=\frac{3}{2}t^2+C\Longleftrightarrow$$ $$y=e^{\frac{3}{2}t^2+C}\Longleftrightarrow$$ $$y=ce^{\frac{3}{2}t^2}$$

$\begin{align} |y| & = e^{3t^2/2} \times\text{a positive constant} \\[10pt] y & = e^{3t^2/2} \times\text{a constant} \end$

$$y=ce^{\frac{3}{2}t^2}\Longrightarrow$$ $$-1=ce^{\frac{3}{2}(0)^2}\Longleftrightarrow$$ $$-1=ce^0\Longleftrightarrow$$ $$-1=c(1)\Longleftrightarrow$$ $$-1=c$$

ENTONCES:

$$y=-e^{\frac{3}{2}t^2}$$