Si $E$ es no vacío y acotado de arriba, a continuación, $\sup E \in \overline E$

Question

Si $E \subset \mathbb{R}$ es no vacío y acotado de arriba, a continuación, $\sup E \in \overline E$ (el cierre de $E$)

Este es un teorema en Rudin del análisis real (teorema 2.28,p35) pero me gustaría saber bajo qué circunstancias se sostiene. La prueba es el siguiente:

Escribir $y := \sup E$ si $y \in E$,$y \in \overline E$. Si $y \notin E$, entonces para cada a $h >0$ existe $x \in E$ tal que $y-h < x < y$. Por lo tanto $y$ es un punto límite de $E$ $y \in \overline E \quad \triangle$

Ahora, yo entiendo que este teorema es verdadero para la distancia Euclidiana de la función (es decir,$d(x,y):= |y - x|)$, pero el teorema de mantener para todas las otras métricas que podemos definir en $\mathbb{R}$ así? Mi conjetura sería que no, ya que yo era incapaz de probar este así que creo Rudin demostró este teorema pensamiento acerca de la métrica Euclidiana.

Answer 1

Con una condición: Que la nueva métrica de los rendimientos de la misma abiertos y conjuntos cerrados como el antiguo (es decir, no cambia la topología; es un llamado (topológicamente) equivalente métrico).

La razón es que el estándar de la topología que acompaña a la norma métrica, es la misma que la topología que surge de la norma de ordenación relación. Por eso me refiero a que los intervalos de $(a, b) = \{x\mid a<x<b\}$ son bloques abiertos, y todos los conjuntos son los sindicatos de abrir los conjuntos de la forma (el llamado fin de la topología puede ser construido en cualquier conjunto con un total de la orden de relación).

Si la topología inducida por la nueva métrica no es la misma que la inducida por el orden, entonces no hay ninguna razón para creer que el $\sup$ (que viene desde el pedido) juega muy bien con el cierre (que proviene de la métrica).

Answer 2

Esto es en realidad bastante sutil pregunta, y la respuesta se encuentra en la Topología (un poco más de lo que el Capítulo 2 de Rudin cubre)

El punto clave aquí es el concepto de la definición de un punto límite.

Si sabes un poco más de topología, entonces para cualquier espacio métrico $(X, d)$ $d$ que denota la métrica en la $X$ canónica de la topología inducida por la métrica. Tome $E \subseteq X$, un punto de $y \in E$ es un punto límite de $E$ si toda bola abierta en torno a $B_{(E. d)}(y, h) = \{x\in E \ |\ d(y, x) < h\}$ tiene intersección no vacía con $E$, es decir, $B_{(E. d)}(y, h) \cap E \neq \emptyset$

La cosa es que la topología y por lo tanto los bloques abiertos (los abiertos de bolas) son determinados por la métrica $d$, hay ciertas condiciones en las que diferentes métricas de inducir la misma topología, pero todas las métricas ciertamente no inducir la misma topología. Por lo tanto, en la matriz del espacio $X$ equipadas con diferentes métricas decir $k$ (por lo tanto el padre de espacio sería el espacio topológico $(X, d)$), tenemos que $y$ podría no ser un punto límite de $E \subseteq X$.

Por lo tanto, cuando demuestre que cualquier punto es un punto límite siempre tenemos que considerar la topología, (y cuando trabajamos en espacios métricos debemos tener en cuenta la métrica), ya que el concepto de un punto límite es de hecho un concepto topológico.

Así que para responder a tu pregunta, no, no valen para todas las métricas, (de hecho Rudin está trabajando con el fin de topología de lo que parece en esta prueba). Como un aparte de la topología inducida por la métrica y el fin de la topología coincide en $\mathbb{R}$

Answer 3

No, el teorema anterior no se cumple para todas las otras métricas que podemos definir en $\mathbb{R}$.

Tomemos, por ejemplo, la distancia discreta $d(x,y)$ que es cero si $x=y$ $1$ lo contrario. A continuación, cada subconjunto de $\mathbb{R}$ dotado de esta métrica es a la vez abierto y cerrado (porque cada singleton es abierto).

Por lo tanto, si $E=(0,1)$ $E$ está delimitado por encima y $\sup(E)=1$ ($1$ es la menor cota superior con respecto a la orden definido en $\mathbb{R}$, la métrica no está involucrado aquí), sino $1 \not\in \overline{E}=E=(0,1)$.