Integral de absoluta e-función

Question

Tengo que integrar la siguiente función:

$$\int e^{-|x|}~dx$$

He intentado esto y no creo, que esto es correcto. Así que me puede decir, donde mi culpa? $$\int e^{-|x|}~dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}~dx=\int_{-\infty}^0e^{-(-x)}~dx+\int_0^\infty e^{-x}~dx=e^x-e^{-x}$$

El problema es, que $e^{-|x|}$ no tiene raíz. $e^{-|x|} \in (0,1]$

Answer 1

No estoy seguro de por qué usted gire su integral indefinida en un definido. Lo que debe hacer (como creo que se ha intentado) es considerar al $x$ es en ciertos intervalos.
Para $-\infty<x\le 0$, $e^{-|x|}=e^{x}$, por lo $\int e^{-|x|}dx=\int e^{x}dx=e^{x}+C=e^{-|x|}+C$
Para $0\le x < \infty$, $e^{-|x|}=e^{-x}$, por lo $\int e^{-|x|}dx=\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C=-e^{-|x|}+C$

Answer 2

$\int e^{-|x|}~dx$

$=\int e^{-x~\text{sgn}(x)}~dx$

$=\int_0^xe^{-x~\text{sgn}(x)}~dx+C$

$=\text{sgn}(x)[-e^{-x~\text{sgn}(x)}]_0^x+C$

$=\text{sgn}(x)(1-e^{-|x|})+C$