Una condición interesante para la completitud de un sistema ortonormal en $ L^2([0,1]) $

Question

Dejemos que $\{u_n\}$ sea un sistema ortonormal en $L^2([0,1])$ , demuestre que $\{u_n\}$ es completa si

$$ \sum_{n=1}^\infty \intop_0^1 \left|\intop_0^x u_n(t)\;dt\right|^2 dx = 1/2.$$

Hay que tener en cuenta que en el apartado anterior he demostrado que $\{u_n\}$ es completa si

$$\forall x\in [0,1]:x=\sum_{n=1}^\infty \left| \intop_0^x u_n(t)\;dt\right|^2$$

y los dos están probablemente relacionados.

Demostrar que la integridad si $\{u_n\}$ implica la ecuación es una simple consecuencia de esto. Sin embargo, estoy atascado en la segunda dirección, cualquier pista sería apreciada.

Answer 1

No sé nada sobre este problema, pero puedo decir esto:

Supongamos que la completitud implica la ecuación, como tú dices. Ahora supongamos que $\{u_n\}$ no es completa, pero sigue siendo ortonormal. Extiende $\{u_n\}$ a un sistema ortonormal $\{v_n\}$ y wlog suponen que $v_1$ no está entre los $u_n$ .

Entonces $a=\int_0^1|\int_0^xv_1(t)dt|^2dx>0$ y la suma tomada sobre el $u_n$ es menor que $1/2$ por lo menos $a$ .