Quiero establecer la siguiente identidad
$$ \int_0^{\pi/3} \arctan (\sqrt{5} \tan \theta) \, d\theta - 2 \int_0^{\pi/6} \arctan (\sqrt{5} \tan \theta) \, d\theta = \frac{\pi^{2}}{30}. \etiqueta{1} $$
por un cálculo directo, es decir, no depender de la geometría.
De fondo. Esta integral es un producto de la Schläfli la fórmula para algunos orthoscheme (tipo especial de tetraedro) en la 3-esfera, de acuerdo con el problema planteado por el Prof. H. S. M. Coxeter en AMM 95 (1988). Él pidió originalmente para encontrar el valor de
$$ \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{arcsec} t}{(t+2)\sqrt{t+1}} \left[ \frac{1}{\sqrt{t+3}} + 2 \right] \, dt = \frac{2\pi^{2}}{15} $$
sin recurrir a la geometría o de la computadora. A continuación, otro de la literatura muestra que es también escrito como
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \arccos\left( \frac{\cos\theta}{1 + 2\cos\theta} \right) \, d\theta = \frac{2\pi^{2}}{15}. $$
(Supongo que los que están relacionados por el volumen del mismo objeto geométrico, pero no estoy seguro ya que la literatura está escrita en francés, que apenas puedo leer). La aplicación de algunas manipulaciones a la última integral, obtenemos las cuatro veces de la mano izquierda de $\text{(1)}$.
A mi juicio. Tests numéricos muestran que la constante de $\sqrt{5}$ $\text{(1)}$ es muy especial, parece que no hay otra raíz cuadrada de número entero (distinto de 1) da una racional múltiples de $\pi^{2}$. He probado algunas técnicas básicas, todo lo cual resultó ser inútil.
Así que quiero publicar este problema, de modo que todos puedan compartir.
