Prueba alternativa de Wedderburn ' s pequeño Teorema

Question

Tengo este ejercicio donde estoy probando: "Cada finito de la división de anillo es un campo". Necesito sólo una parte (c) de la misma:

(a) demostrar que una subalgebra de un número finito de dimensiones centrales de la división de álgebra es una finito dimensionales de la división de álgebra. (HECHO)

(b) mostrar que si $D$ es de un número finito de dimensiones centrales de la división de álgebra y $K\neq Z(D)$ es cualquier subcampo, a continuación, $D$ es generado como un $Z(D)$-álgebra $\bigcup_{d\in D^*}d^{-1}Kd$. (HECHO)

(c) la Conclusión, sin necesidad de utilizar el Noether-teorema de Skolem, que de un número finito de la división de anillo es un campo. (...)

Gracias, G.

Answer 1

Para proveer una alternativa, tal vez un poco demasiado sobre-carga de la prueba de este hecho: cada finito de la división de anillo es conmutativo.
Esta cantidad no es la misma cosa como muestra de que el grupo de Brauer de cualquier campo finito es trivial, para, a continuación, lo finito de la división de los anillos son todos de la matriz de los anillos. Ya que son la división de los anillos, esto implica que ellos son los campos. Ahora, por un teorema de la teoría de la central de simple álgebras, $\mathbb {Br}(K/\kappa)$, para un finita de Galois de la extensión de un campo finito $\kappa$, es isomorfo con $H^2(Gal(K/\kappa),K^\times)$. Pero finito extensiones de campos finitos son cíclicos, por lo que este es un cohomology grupo de un determinado grupo cíclico. Desde tales cohomology es periódica de período de $2$, nos encontramos con que es sólo la norma de residuos de grupo $\kappa^\times/N_{\mathbb K\mid \kappa}\mathbb K^\times$. Ya es bien sabido que las normas de campo finito extensiones son surjective, esto nos dice que la relación Brauer grupos son triviales. Como Brauer grupos colimits de relativos, esto termina la prueba.
P. S. me enteré de esta prueba de Mariano Suárez-Alvarez. Como esta prueba es bastante notable, voy a hacer CW, para mantenerlo como referencia. Gracias.

Answer 2

Es enteresting para plantear este problema de división de anillos que distribuye unilateral de multiplicación de la ley de adición (a + b) c = ac + bc, i. e. la multiplicación por una elemento f (x) = ax no es aditivo. ¿Pueden ser tales anillos de división finito también conmutativos?

Gintaras