Convergencia de la serie $\sum\ln(1+\frac{(-1)^n}{n+1})$

Question

Quiero mostrar que la serie cuyo término n-ésimo es $a_n=\ln(1+\frac{(-1)^n}{n+1})$ es convergente. Yo quería usar el límite de la prueba de comparación para comparar el $p$ serie, pero se $a_n$ no es positiva. Pensé en escribir la potencia de la serie representación de $a_n$ usando el poder de la serie representación de $\ln(1+x)$ $x=b_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$ nos encontramos con que $$a_n=b_n-\frac{1}{2}b_n^2+\frac{1}{3}b_n^3-\frac{1}{4}b_n^4+\cdots$$ Ahora, los seris $\sum b_n$ es convergente por la alternancia de la serie de prueba y los otros términos son términos absolutamente convergente la serie, pero es un infinte suma, puedo decir así ? Me refiero a que es la infinita suma de una serie convergente convergente la serie ? Es esto correcto y es hay alguna otra manera de hacerlo ?

Answer 1

Uno puede utilizar la extensión de la serie de Taylor, como $x\to 0$, $$ \log(1+x)=x+O(x^2) $$ giving, for some great $ n_0 $ and all $N $ greater than $ n0$, $$ \sum{n0 \leq n\leq N} \ln (1 + \frac {(-1) ^ n} {n+1}) = \sum {n0 \leq n\leq N} \frac {(-1) ^ n} {n+1} + \sum {n_0 \leq n\leq N} O\left (\ frac1{(n+1)^2}\right) $$ entonces concluir que la convergencia de la serie inicial.

Answer 2

Esta serie es alterna y las partes positivas de los términos disminuyen a 0. Por lo tanto converge. Tenga en cuenta esto poco experimentar y verás por qué.

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salida: