Wikipedia tiene la resultado que Gauss demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con \mu(p 1) \pmod{p} en el artículo 81.
Lo he leído, pero ¿hay alguna prueba más rápida que utilice la inversión de Moebius en lugar de la comprobación caso por caso?
He probado lo siguiente:
Sea f(d) sea la suma de todos los d raíces de la unidad. Entonces creo que tenemos \sum_{d\mid p-1}f(d)\equiv \sum_{x\in\mathbb{Z}_p^\times}x\equiv 0\pmod{p} ya que cada elemento de \mathbb{Z}_p^\times es un d raíz de la unidad para algún d\mid p-1 .
Así que defino F(n)=\sum_{d\mid n}f(d) . Por inversión de Moebius, f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d). La suma en cuestión es el caso en el que n=p-1 Así que f(p-1)=\sum_{d\mid p-1}\mu(p-1)F((p-1)/d) y quiero demostrar que esto es congruente con \mu(p-1)\pmod{p} . Desde f(1)=1 , F(1)=1 Así que sólo estoy tratando de mostrar F((p-1)/d)\equiv 0 cuando (p-1)/d\neq 1 y creo que el resultado seguiría. ¿Alguien sabe cómo demostrar que si es cierto, o arreglar el argumento de lo contrario?
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Posible duplicado de Demostrar que la suma de raíces primitivas es congruente con \mu(p-1) \pmod{p}
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La congruencia \sum_{d\mid p-1}f(d)\equiv \sum_{x\in\mathbb{Z}_p^\times}x\equiv 0\pmod{p} no tiene sentido: Los lados izquierdo y medio están en \mathbb{Z}_p mientras que el \equiv signos sugieren que está trabajando en \mathbb{Z} .