La integral del momento de inercia tiene masa, no diferencial de radio?

Question

Hemos estado aprendiendo sobre la derivación para el momento de inercia como:

$$\int r^2 dm$$

Sin embargo, a mí me parece que esto es un poco al revés. Como estudiante de primer año de calcografía, veo el diferencial en la integración casi como la variable "independiente" y la función dentro como la variable "dependiente" (cuando normalmente hacemos integración, tenemos algo como $\int f(x) dx$ Por eso he desarrollado esta intuición).

Sin embargo, siguiendo esta idea, parecería que el radio es de alguna manera una función de la masa. Yo pensaría que sería al revés, es decir, introduzco el radio y luego la función me da la masa diferencial en un radio determinado. ¿Puedes intuir por qué dividimos el objeto en masas diferenciales y no en distancias diferenciales desde el eje de rotación?

Answer 1

Supongamos que se tiene una única masa puntual $m$ a distancia $r$ entonces el momento de inercia es, por supuesto, justo:

$$ I = mr^2 $$

Pero supongamos ahora que nuestra masa es un objeto extendido y no una masa puntual, por lo que la ecuación anterior no se aplica. Podríamos obtener una aproximación para $I$ dividiendo la masa en $n$ masas más pequeñas $m_i$ con centros de masa en $r_i$ :

$$\begin{align} I &\approx m_0r_0^2 + m_1r_1^2 + \text{...} + m_nr_n^2 \\ &\approx \sum_{i~=~0}^n m_i r_i^2 \end{align}$$

Para hacer esto exactamente aumentamos la división en un número infinito de masas infinitesimales $dm$ y la suma se convierte en una integral:

$$ I = \int~\mathrm dm\,r^2 $$

Y eso es lo que significa la ecuación que das. Pero en la práctica no expresaríamos $r$ en función de $m$ e integrar con respecto a $\mathrm dm$ . En cambio, observamos que $\mathrm dm = \rho~\mathrm dV$ , donde $\mathrm dV$ es el volumen infinitesimal de nuestra masa infinitesimal. Supongamos que utilizamos coordenadas cartesianas con el eje de rotación a lo largo del $z$ eje, entonces nuestro elemento de volumen es $\mathrm dV = \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ y nuestra integral se convierte:

$$ I = \int \int \int r(x,y)^2 \rho(x,y,z)~\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz $$

donde $r$ es la distancia al eje:

$$ r^2 = x^2 + y^2 $$

Pero escribir $\displaystyle \int r^2~\mathrm dm$ es mucho más corto y significa lo mismo.

Answer 2

La integral en la pregunta es una definición aceptable; cuando escribimos,

$$I = \int dm \, r^2$$

nos referimos aquí a que $r$ es la distancia de un punto del objeto al eje de rotación, en función de la masa. Una definición equivalente de $I$ sería,

$$I = \int_V dV \, \rho \, r^2$$

donde de nuevo $r$ es la distancia al eje, pero esta vez en función de la posición del punto.

---

Ejemplo ilustrativo

Consideremos una varilla de espesor y longitud infinitesimales $\ell$ en el $xy$ -plano, digamos, apoyado en el $x$ eje desde el origen hasta $x= \ell$ y lo hacemos girar sobre el $z$ -eje. Entonces, la masa de un punto a una distancia $x$ desde el origen será, $m(x) = \lambda x$ , donde $\lambda$ es la densidad lineal. Invertir esto significa,

$$r^2_{\mathrm{axis}} = \frac{m^2}{\lambda^2}$$

y utilizando la primera definición de $I$ Al integrar sobre todas las masas, tenemos,

$$I = \int_0^{\lambda \ell} dm \, \frac{m^2}{\lambda^2} = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2$$

donde $M = \lambda \ell$ es la masa total. Ahora, procediendo con la segunda definición, observe que la densidad es $\rho(x,y) = \lambda \delta(y)\mathbb{1}_{[0,\ell]}( x)$ y que la distancia al eje viene dada por $r^2_{\mathrm{axis}} = x^2 + y^2$ . Integrar, $$\int_V dy dx \, \rho (x^2 + y^2) = \left[ \frac{1}{3}\lambda x^3\right]^{\ell}_0 = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2.$$

A partir de este ejemplo, se puede ver por qué las definiciones son equivalentes, pero a menudo utilizamos la segunda, sobre todo porque expresar la distancia al eje en función de la masa no siempre es tan sencillo, y es bastante impar pensar que se relacionan de esa manera.