En primer lugar,
un par de observaciones:
- $(C^\infty(\mathbb R,\mathbb R),\|\cdot\|_\infty)$ es problemático:
hay muchos suaves las funciones de $\mathbb R$ a sí mismo que se ilimitada,
como $f(x)=x$.
Por lo tanto,
$\|\cdot\|_\infty$ no define una norma en $C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$.
- El mismo problema surge en $(C^\infty((0,1),\mathbb R),\|\cdot\|_\infty)$,
donde $(0,1)$ denota el intervalo abierto.
Considere la posibilidad de $f(x)=1/x$.
- $\|\cdot\|_\infty$ hecho de definir una norma en $C^\infty([0,1],\mathbb R)$,
donde $[0,1]$ denota el cerrado (compacto) de intervalo.
Sin embargo,
no tiene sentido preguntar si un subconjunto $A$ es denso en $(C^\infty([0,1],\mathbb R),\|\cdot\|_\infty)$:
Ya que estamos considerando a la norma de la topología inducida por $\|\cdot\|_\infty$
(que en realidad es una métrica de la topología con $d(x,y)=\|x-y\|_\infty$),
el conjunto $A$ es denso en $C^\infty([0,1],\mathbb R)$ si y sólo si $\overline A=C^\infty([0,1],\mathbb R)$ (donde $\overline A$ denota el cierre).
Sin embargo,
esto nunca puede ser satisfecho desde $C^\infty([0,1],\mathbb R)$ sí no es cerrado bajo $\|\cdot\|_{\infty}$.
De hecho,
de acuerdo a la Aproximación de Weierstrass teorema,
uno puede encontrar una secuencia de funciones polinómicas $\{p_n\}\subset C^\infty([0,1],\mathbb R)$ tal que $\|p_n-f(x)\|_{\infty}\to0$,
donde $f(x)=|x-1/2|$,
sin embargo, $f$ no es diferenciable.
Una alternativa pregunta en el mismo espíritu que lo que estamos pidiendo, sería la siguiente:
Pregunta. ¿Cuál es la clausura del conjunto de $A$ funciones $f\in C^{\infty}([0,1],\mathbb R)$ tal que
\begin{align}f^{(n)}\neq0 \text{ for every %#%#% and }\lim_{n\to\infty}\|f\|_\infty=0.\tag{1}\end{align}
La respuesta a esta pregunta en un comentario por Willie Wong:
El conjunto de funciones de $n$ se define como
$f:[0,1]\to\mathbb R$$
(donde $$f(x)=p(x)+\epsilon\sin(\epsilon x)$ es una función polinómica y $p$)
es un subconjunto de las funciones que satisfacen las condiciones de $0<\epsilon<1$,
y se aproxima a las funciones polinómicas,
que son densos en $(1)$.
Por lo tanto,
el cierre de su set es de las funciones continuas en el compacto [0,1].
Nota. Si la misma pregunta que el anterior, pero con la condición de
\begin{align}f^{(n)}\neq0 \text{ for every %#%#% and }\lim_{n\to\infty}f(x)=0 \text{ pointwise},\tag{2}\end{align}
a continuación, el resultado aún se mantiene,
desde convergencia uniforme implica pointwise convergencia,
por lo tanto el conjunto de todas las funciones de satisfacciones $C[0,1]$ contiene el conjunto de todas las funciones de satisfacciones $n$.
