Encontrar el núcleo de una matriz de 4x4

Question

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16\\ \end{pmatrix} $$

Me piden que encuentre el núcleo de la matriz $M$ . Después de hacer alguna operación de fila llego a $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -4 & -8 & -12\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$

y para $x$ Encuentro $x = \alpha + 2\beta$ mientras que $y = -2\alpha -3\beta$ Por lo tanto, $$ \begin{pmatrix} \alpha + 2\beta\\ -2\alpha - 3\beta\\ \alpha\\ \beta\\ \end{pmatrix} $$

Cuando tomamos fuera alfa y beta: obtenemos dos vectores: $$ \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} $$ y $$ \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} $$ que son linealmente independientes y forman una base de esta $ker(M)$ ¿Podría confirmarme si obtiene el mismo resultado? Gracias.

Answer 1

Sí es correcto, en caso de duda puede comprobarlo directamente mediante una simple multiplicación para la matriz RREF

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -4 & -8 & -12\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=0$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -4 & -8 & -12\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} =0 $$

o/y también para la matriz original

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=0$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} =0 $$

Tenga en cuenta que también después de esta comprobación, para que el resultado sea correcto es crucial que el RREF se calcule correctamente. En caso de duda, podemos evaluar $rank(M)$ con otros métodos o seguir el bonito sugerencia de Atmos para estar seguro de que $dim(Ker M)=2$ y por lo tanto que lo que hemos encontrado es una base para $Ker(M)$ .

Answer 2

Sí, se ve muy bien. Sin embargo, debería precisar por qué la dimensión del Kernel es $2$ . Por ejemplo, extrayendo el $2 \times 2$ determinante $$ \begin{vmatrix} 3&4 \\ 7&8 \end{vmatrix}=24-28 \ne 0 $$ Por lo tanto, la dimesión de la imagen es al menos $2$ . Entonces encontró dos vectores en ella, por lo que la dimensión de la imagen no puede exceder de dos por lo que valora $2$ . así como la dimensión del Kernel.

Answer 3

Tus cálculos son correctos y tu respuesta también. Pero deberías mejorar tu MathJax habilidades.