Es verdad que

Question

Quiero probar o encontrar un contraejemplo de la Proposición siguiente:

Que $N$ ser un número entero positivo y $a_1,\dotsc,aN$ números reales distintos. Luego sostiene que: $$\sum{1 \leq n, m \leq N} \cos(a_n - a_m) \geq 0.$ $

$N=1,2$ El resultado es evidente y $N=3,4$ Wolfram Alpha afirma que el resultado es positivo.

¿Alguien me puede ayudar aquí?

Answer 1

Si definimos $z$ %#% $ de #% podemos notar que el % $ $$ z = \sum_{n=1}^{N}\exp(ian) $y $$ z\overline{z} = |z|^2 = \sum{1\leq m,n\leq N}e^{i(a_n-am)},\qquad \sum{1\leq m,n\leq N}\cos(a_n-a_m)=\text{Re}|z|^2$ son evidentemente real y $|z|^2$.