Podemos probar la existencia de $A\cup B$ sin el axioma de la unión?

Question

Si $A$ $B$ son conjuntos, entonces a $A\cup B$ se define como sigue: $$A\cup B:=\{x: x\in A \, \, \,\text{ or } \, \, \, x\in B\}.$$

En ZFC, $A\cup B$ existe porque $\bigcup\{A,B\}$ existe por el axioma de la unión, y se sabe que el axioma de la unión es independiente del resto de ZFC.

Si no se ajusta de tal manera que $A\subset C$$B\subset C$, entonces podemos definir el $A\cup B$ $C$ y el axioma de separación. Pero puedo probar la existencia de $C$ en ZF-Unión? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Buena pregunta!

Resulta que en $T=\mathsf{ZFC}-\mathrm{Union}$, podemos demostrar que los sindicatos de finito de conjuntos existen. Hay una (muy reciente) de papel dedicado a esta cuestión. Lo que sigue es una (muy) breve relato de mi lectura de (sección 3) el papel:

Greg Omán. En el axioma de la unión, Arq. De matemáticas. La lógica, 49 (3), (2010), 283-289. MR2609983 (2011g:03122).

(Por desgracia, el papel está detrás de un paywall, y el autor no tiene una versión en su página o en el arXiv. Póngase en contacto conmigo si usted encuentra dificultades para acceder a ella).

Es de destacar que el argumento utiliza elección en vías esenciales, así que la pregunta sigue siendo si los sindicatos finito de conjuntos puede ser probado a existir en $\mathsf{ZF}-\mathrm{Union}$. (De manera similar, pero quizás no sorprendentemente, la sustitución también juega un papel clave.)

En primer lugar, tenga en cuenta que $T$ demuestra que si $x,y$ son conjuntos, entonces a $x\cup\{y\}$ existe: Mapa de cada singleton $\{z\}$$\mathcal P(x)$$z$, y en cada subconjunto de a $y$. Llamar a este Lema 1.

La base de la teoría de los números ordinales pueden ser llevadas a cabo en $T$ (por ejemplo, cualquiera de los dos distintos ordinales son comparables por $\subset$ y $\in$), y (fundamentalmente) $T$ demuestra que cada conjunto es en bijection con un ordinal. Llamar a este Teorema 1.

Este argumento requiere de ciertos cuidados por dos razones: en Primer lugar, el enfoque de los usos de la recursión transfinita, que usa el axioma de la unión. Segundo, argumentando acerca de la existencia de funciones requiere de ciertos cuidados, ya que en este momento no es claro que los productos Cartesianos existen. Sin embargo, tenemos una forma de eludir el segundo problema, ya que algunas funciones no existen, ya que tenemos el axioma de elección (expresado en la forma: la Elección de las funciones de existir).

Omán es el argumento (que es realmente una cuidadosa reelaboración de Zermelo del enfoque original) va como sigue: Dado $X$, comenzar con una función de elección $G$ en los subconjuntos no vacíos de a $X$. Llame a $f$ una aproximación iff su dominio es un ordinal, su rango está contenida en $X$, y para cada una de las $\alpha\in\mathrm{dom}(f)$, $$ f(\alpha)=G(X\setminus\{f(\beta)\mid \beta<\alpha\}). $$ Ahora compruebe que las aproximaciones son compatibles, y que cada elemento de a $X$ está en el rango de algunos aproximación. Para el último, dejando $Y$ ser el subconjunto de $X$ compuesta por los elementos de a $X$ que aparecen en el intervalo de algunos aproximación, tenga en cuenta que para cada una de las $y\in Y$ hay un único, $\alpha_y$ tal que hay una cierta aproximación a$f$$\alpha_y\in\mathrm{dom}(f)$$f(\alpha_y)=y$. De ello se desprende que $F=\{(\alpha_y,y)\mid y\in Y\}$ existe, y uno fácilmente se verifica que es una aproximación.

Uno completa el argumento mediante la comprobación de que el rango de $F$$X$. Pero si no lo es, entonces dejando $\gamma=\mathrm{dom}(F)$, $F\cup\{(\gamma,G(X\setminus Y))\}$ es también una aproximación (gracias a Lexema 1!). Esto es una contradicción, puesto que la definición de $Y$ implica entonces que $G(X\setminus Y)\in Y$, lo cual es absurdo como $G$ es una función de elección. Esto completa la prueba del Teorema 1.

Por cierto, si usted no está familiarizado con este argumento, es posible que desee leer la agradable encuesta por Kanamori y Pincus,

Akihiro Kanamori, y David Pincus. Qué $\mathsf{GCH}$ implican $\mathsf{AC}$ a nivel local?. En Paul Erdős y su matemática, II (Budapest, 1999), pp 413-426, Bolyai Soc. De matemáticas. Stud., 11, János Bolyai De Matemáticas. Soc., Budapest, 2002. MR1954736 (2003m:03076).

(Teorema 3.3.c es falsa, pero esto no afecta a su exposición en Zermelo del argumento.)

Utilizando el Teorema 1, Omán sostiene que (finito) Cartesiano existen productos: Dado $x,y$, hallar los números ordinales $\alpha,\beta$ en bijection con ellos. Si $\gamma=\max\{\alpha,\beta\}$, entonces es fácil comprobar que $\alpha\times\beta$ existe, ya que es un subconjunto de a $\mathcal P(\mathcal P(\gamma))$. Sustitución completa de la prueba.

De ello se deduce inmediatamente que la colección de funciones de $x$ $y$existe. Con esto, podemos probar ahora

Teorema 2. Si $x$ es un conjunto y $\{|y|\colon y\in x\}$ es un conjunto acotado de números ordinales, a continuación, $\bigcup x$ existe.

Tenga en cuenta que el acotamiento de la asunción es obviamente necesario, y la respuesta es inmediata en presencia de la unión axioma. Esto por lo tanto podría ser visto como la característica fundamental que la unión axioma nos da. Como un corolario inmediato, si $x$ es finito, entonces $\bigcup x$ existe, para responder a tu pregunta afirmativamente.

Vamos a concluir con el esbozo de la demostración del Teorema 2: Podemos suponer que ningún elemento de $x$ está vacía. Deje $\gamma$ ser un límite para las cardinalidades de los elementos de $x$. Para $y\in x$, vamos a $S_y$ ser el conjunto de todos los surjections de $\{y\}\times\gamma$ a $y$, y tenga en cuenta que $S_y\ne\emptyset$. Consideremos ahora una función de elección $G$$\{S_y\mid y\in x\}$, por lo que para cada uno de los $y\in x$, $G(y):\{y\}\times\gamma\to y$ es en. Reemplazo de ahora implica que $\bigcup x=\{G(y)(y,\alpha)\mid (y,\alpha)\in x\times\gamma\}$ es un conjunto, y hemos terminado.