$\infty$ - desambiguación de definición de categorías

Question

Actualmente estoy leyendo Lurie - Mayor Topos de la Teoría, pero estoy teniendo dificultades desde el principio. Sé que el tema es demasiado amplio y diferente matemáticos pueden definir de manera diferente a algunos de los conceptos que serán mencionadas en este post. Por lo tanto, adaptar la notación y la terminología, Lurie se adapta en su libro. En vista de eso, él define a un $\infty-$categoría, a ser un conjunto simplicial decir, $S \in Set_{\Delta}$, lo que satisface el cuerno decondición, es decir, para cualquier $n \geq 0$$0 < i < n$, cualquier mapa de $\Lambda^n_i \rightarrow S$, se extiende a un mapa de $\Delta^n \rightarrow S$. Sin embargo, algunas páginas más arriba, él dice explícitamente

"En este libro, consideramos que sólo ($\infty$,1)-categorías: las categorías superiores en la que todos los k-morfismos son asumidos para ser invertible para $k > 1$."

Mientras que más adelante él escribe

A menos que se especifique lo contrario, el término genérico "$\infty$-categoría" se refiere a una ($\infty$,1)-categoría.

Aquí es el punto donde me quedé atrapado. En mi entender, hasta ahora, estos $\infty$-categorías son, literalmente, functors, $\Delta^{op} \rightarrow Set$, y con algo de "descenso" de la condición de explotar la naturaleza combinatoria de ellos. Además, para mayor comodidad pensamos en estos $\infty$-categorías como una especie de generalización de las categorías habituales, de ahí que alguien pudiera pensar que el $S_0$ como los objetos, $S_1$ como morfismos, $S_2$ como el triabgles y así sucesivamente podemos tener en cuenta la costumbre de los nervios de una categoría como una brújula para obtener algo de intuición. Lo que no entiendo, es donde la primera cita entra en el escenario. ¿Qué significa tener $k$-morfismos en el $\infty$-categoría de instalación? Y si es así, ¿qué significa tener invertible morfismos en que sentido?

Gracias de antemano!

Answer 1

La idea intuitiva de una $\infty$-categoría es una categoría de la estructura donde se han morfismos entre morfismos entre morfismos entre morfismos y así sucesivamente. Es decir, usted tiene ordinario objetos y morfismos, pero usted también tiene "2-morfismos" entre el paralelo 1-morfismos (creo transformaciones naturales entre los functors, o homotopies entre los mapas), y "3-morfismos" entre el paralelo 2-morfismos, y así sucesivamente. Una $(\infty,1)$-categoría es entonces una estructura de este tipo en todas las $k$-morfismos para $k>1$ es invertible. El basic motivar ejemplo es el $(\infty,1)$-categoría de espacios, donde los objetos son (nice) espacios topológicos, morfismos son continuas mapas, 2-morfismos son homotopies entre mapas, 3-morfismos son homotopies entre homotopies, 4-morfismos son homotopies entre homotopies entre homotopies, y así sucesivamente. Ya que cada homotopy tiene una inversa (sólo vuelta), todos los $k$-morfismos para $k>1$ es invertible.

Así, Lurie definición de "$\infty$-categoría" es en realidad sólo el modelado de esta noción de $(\infty,1)$-categoría, no más generales de la $\infty$-categorías en las que puede tener no invertible morfismos de todas las dimensiones. Usted debe pensar en un elemento de $S_2$ como no sólo de trayecto triángulo en el ordinario sentido categórico, sino en un triángulo que viajes de hasta un determinado homotopy. Es decir, usted tiene objetos $A$, $B$, y $C$, mapas $A\to B$, $B\to C$, y $A\to C$ $2$- morfismos ("homotopy") entre la composición de la $A\to B\to C$ y los morfismos $A\to C$. Del mismo modo, de mayores dimensiones simplices son diagramas que conmutan a dado de mayores dimensiones morfismos.

En el caso de que usted tiene un ordinario de la categoría, que lo consideran como un $(\infty,1)$-categoría diciendo que no hay $k$-morfismos para $k>1$ otros de identidad de morfismos. Así que en este caso todos los mayores morfismos en nuestro simplices son identidades, y los diagramas de hecho, literalmente, de camino al trabajo. Así que en ese caso, el conjunto simplicial es habitual que los nervios de la categoría.