¿Cómo puedo calcular el producto escalar de dos vectores si conozco ambos productos de puntos con un tercer vector?

Question

Tengo tres vectores, $a$, $b$, y $c$ $n$espacio tridimensional. Quiero calcular el $a\cdot b$. Sé $\lvert a \rvert$, $\lvert b \rvert$, $\lvert c \rvert$, $a\cdot c$ y $b\cdot c$.

Es allí una manera de hacer esto, preferiblemente sin usar trigonometría?

He hecho algunos progresos. Si $\theta$ es el ángulo entre el$a$$c$, e $\phi$ es el ángulo entre el $b$ $c$ sé que: $$a\cdot b=\lvert a\rvert\lvert b\rvert\cos(\theta-\phi)=\lvert a\rvert\lvert b\rvert\cos\theta\cos\phi+\lvert a\rvert\lvert b\rvert\sin\theta\sin\phi$$ $$=\frac{(a\cdot c)(b\cdot c)}{\lvert c\rvert^2}+\lvert a\rvert\lvert b\rvert\sin\theta\sin\phi$$

También sé que $$\lvert a\rvert^2\lvert c\rvert^2\sin^2\theta=\lvert a\rvert^2\lvert c\rvert^2-(a\cdot c)^2$$ and likewise for $b$, pero esto no le da el signo de los senos.

Creo que esto es posible, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Edit: Vale, ahora me doy cuenta de que esto es imposible en general. Es posible que en el caso bidimensional?

Answer 1

En general, la respuesta es no.

ps

ps

ps

Siempre que $$a=(a_1,a_2,0)$, tendrá$$ b=(b_1,b_2,0)$y$$c=(0,0,1)$. Sin embargo, puede hacer que$a_1^2+a_2^2=1=b_1^2+b_2^2$ sea lo que quiera (entre$|a|=|b|=|c|=1$ y$a\cdot c=b\cdot c=0$).

Answer 2

No puedes.

Tome$a,b$ dos vectores unitarios en$\operatorname{span}(e_1,e_2)$ ($(e_i)_{1\leq i\leq n}$ siendo la base ortonormal estándar), y$c=e_3$.

Luego$\langle a,c\rangle = \langle b,c\rangle = 0$, y sabes$\lvert a\rvert = \lvert b\rvert= \lvert c\rvert =1$ por suposición, pero$\langle a,b\rangle$ podría tomar cualquier valor en$[-1,1]$.

Answer 3

En el caso bidimensional, por supuesto. Los productos puntos de un vector dado con dos vectores linealmente independientes determinan sus coordenadas en algún sistema de coordenadas (el sistema con esos dos vectores como base). Toma el resto desde allí.

Answer 4

Un resultado general en el álgebra lineal es que los vectores $v_1,\ldots,v_n$ son linealmente independientes si y sólo si sus Gramian de la matriz, es decir, la matriz de sus productos escalares, es invertible. En el caso de dos dimensiones de los vectores $a,b,c$, ya que no pueden ser linealmente independientes, obtenemos que

$det\begin{pmatrix}a\cdot a & a\cdot b & a\cdot c \\ a\cdot b & b\cdot b & b\cdot c \\ a\cdot c & b\cdot c & c\cdot c\end{pmatrix} = 0$.

Usted sabe que todas estas entradas con la excepción de $a\cdot b$, y el de arriba te da una ecuación cuadrática satisfecho por éste, dando lugar a dos posibles soluciones.

Por desgracia, los datos que tenemos no es suficiente únicamente para determinar el $a\cdot b$. Considere los ejemplos

$a_1 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},c_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

y

$a_2 = b_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},c_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

En ambos casos tienes $a_i\cdot c_i = b_i\cdot c_i = 1, |a_i|=|b_i|=1, |c_i|=\sqrt{2}$. En general, reflejando $a$ o $b$ con respecto a la línea dada por $c$ cambios en ninguno de sus datos dado, pero no cambian $a\cdot b$.