Orden de un elemento en un grupo finito

Question

El teorema 2.4.5 en el libro de Herstein dice si$G$ es un grupo finito de orden$n$ luego$a^n = e$ para todos$a$ en$G$.

¿Es esto un error tipográfico? Sé que el orden de cada elemento debe dividir$n$, pero ¿debe ser igual al orden del grupo?

Answer 1

No, no es un error tipográfico: el orden de un elemento no tiene por qué ser igual al orden del grupo (piénsese, por ejemplo, en el elemento unidad$e$); basta que lo divida para obtener$a^{|G|}=e$:

Digamos que el orden de$a\in G$ es$k$ y$k$ divide$n=|G|$%, es decir,$n=kq$ para algunos$q\in\Bbb Z$. Entonces tenemos$$a^n=a^{kq}=(a^k)^q=e^q=e$ $

Answer 2

El texto no está diciendo que $n$, el orden del grupo, es el orden de $a$. El texto está diciendo que $n$ es un número que podría ser diferente a la de la orden de $a$ que es también tal que $a^n =e$.

Por Legrange teorema de, usted sabe que $|a|$ divide $n$ $n = k*|a|$ para algunos entero $k$.

Por lo $a^n = a^{k|a|} = (a^{|a|})^k= e^k =e$.

Que no debería ser sorprendente. Aunque es fácil ver cómo la declaración podría ser mal interpretado.

(Nota: Es muy fácil demostrar la $a^j =e$ si y sólo si $j$ es múltiplo de la orden de $a$. Así que esto es sólo señalar que $n$ es un múltiplo de la orden de $a$.)

Answer 3

No es un error tipográfico:$ a^n = e $ no significa que el orden de$a$ es$n$, solo que es como máximo$n$ (en realidad, debe ser un divisor de$n$).