Dejemos que $f$ sea una función continua tal que $f(a)= f(b)$ , demuestran una propiedad

Question

Dejemos que $ a,b $ sean números reales tales que $a<b$ y $f : [a,b] \rightarrow R $ es continua, de manera que $ f(a) = f(b) $ .

Demostrar que existe $\delta > 0$ tal que para cada $ t \in [0,\delta]$ hay $ x \in [a,b-t] $ que $f(x) = f(x+t)$ .

Primero definí una nueva función $g(x) = f(x) - f(x+t)$ para algunos $t \in [0,\delta]$ . Y trató de demostrar que $g(a) = f(a) - f(a+t) < 0 \space, g(b-t) = f(b -t ) -f(b) >0 $ o viceversa. Y luego utilizar el teorema del valor intermedio, pero no pudo avanzar más.

También traté de tomar $c$ es el máximo absoluto o el mínimo absoluto, y toma $ \delta = b - c$ y trabajar alrededor del punto $(c,f(c))$ punto para encontrar la propiedad.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $c,d\in[a,b]$ sea tal que $f$ tiene un máximo en $c$ y un mínimo en $d$ (estos existen porque $[a,b]$ es compacto). Si ambos $c,d\in\{a,b\}$ entonces $f(c)=f(d)$ (porque $f(a)=f(b)$ ), en cuyo caso la función es constante y el problema es trivial. Por lo tanto, supongamos que uno de $c$ y $d$ está en $(a,b)$ sin pérdida de generalidad $c$ (en caso contrario, sustituir $f$ por $-f$ ).

Desde $c\in (a,b)$ hay un $\delta>0$ tal que $[c-\delta,c+\delta]\subset (a,b)$ .

Por cada $t\in [0,\delta]$ definir $g_t(x)=f(x+t)-f(x)$ . Entonces $g_t(c-t)\geq 0\geq g_t(c)$ por lo tanto, hay algo de $x\in[c-t,c]\subset[a,b-t]$ con la propiedad deseada $g_t(x)=0$