La esfera no está uniformemente cerca de ser isométrica al espacio euclidiano

Question

$\newcommand{\SO}[1]{\text{SO}(#1)}$ $\newcommand{\Hom}[1]{\text{Hom}(#1)}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Deje $U \subseteq \mathbb{S}^n$ ser un subconjunto de la ronda esfera.

Existe una $\epsilon >0$ tal que no es liso mapa de $f:U \to \mathbb{R}^n$ satisfacción $\text{dist}(df,\text{SO}) \le \epsilon$ todas partes en $U$.

Hay una escuela primaria argumento para mostrar esto?

He aquí cómo se definen $\text{dist}(df,\text{SO})$. Deje $p \in U$,$df_p \in \Hom{T_pU,\mathbb{R}^n} $. El interior de los productos en $T_pU,\mathbb{R}^n$ inducir un producto interior en el Hom-espacio; (Este es sólo el producto tensor en $T_p^*U \otimes \R^n$ o menos de manera abstracta, este producto reduce a la distancia Euclídea (Frobenius) producto de matrices, cuando representamos lineal mapas w.r.t bases ortonormales).

Ahora, usando la inducida por la distancia en el Hom-espacio, tenemos una noción de $ \text{dist}(df,\text{SO})(p)= \text{dist}\big(df_p,\SO{T_pU,\R^n}\big)$ .

La única prueba de que sé que la afirmación anterior es difícil; es una prueba de un fuerte reclamo:

Con las notaciones como la anterior, considere la funcional $E(f)=\int_U \text{dist}^2(df_n,\text{SO}) $. (La integración es w.r.t la de Riemann forma de volumen de la esfera).

Supongamos que existe una secuencia de mapas de $f_n:U \to \R^n$ satisfacción $\text{dist}(df_n,\text{SO}) \le \frac{1}{n}$. A continuación,$E(f_n) \to 0$. Esto implica, según el teorema 1.4 aquí, que $f_n$ converge (fuertemente) en el espacio de Sobolev $W^{1,2}(U,\R^n)$ a un suave inmersión isométrica. Una contradicción.

Por supuesto, requiriendo un pequeño uniforme obligado es mucho más fuerte que la que requieren
una pequeña parte integral obligado, así que espero que no debe ser más fáciles de la prueba. También, el teorema citado anteriormente sostiene sólo por la distancia de $\text{SO}(n)$, mientras espero que uno no puede encontrar mapas con arbitrariamente pequeña distancia uniforme de $\text{O}(n)$. (es decir, la afirmación de que en esta pregunta se debe mantener si reemplazamos $\text{SO}(n)$$\text{O}(n)$).

Editar:

He intentado mostrar que un "aproximado isometría" $f$ (con muy pequeño $\text{dist}(df,SO)$) de los mapas geodesics a los trazados con la pequeña curvatura geodésica y, a continuación, utilice el hecho de que las tasas de propagación de geodesics en la esfera y el espacio Euclidiano son diferentes. (que se rigen por la curvatura).

Sin embargo, esto no parece ser cierto en general; La condición en $\text{dist}(df,SO)$ es una condición en la primera derivados, mientras que la curvatura geodésica de la asignada en los caminos afectados también por la segunda derivada de $f$. Por supuesto, para una exacta isometría, $\nabla df=0$, pero parece falso que las pequeñas $\text{dist}(df,SO)$ implica pequeño $|\nabla df|$. En efecto, pensemos en el caso unidimensional: un mapa de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ puede tener $f'$ uniformemente cerca de $1$, y el loco de la segunda derivada.

Answer 1

Aquí es una simple respuesta a una simple pregunta: Para cada dominio de $V\subset R^n$, existe una $\epsilon>0$ tal que no es diffeomorphism $f:U→V$ satisfacción $\text{dist}(df,\text{SO})< \epsilon$ todas partes en $U$.

Prueba: supongamos lo contrario, entonces usted tiene una secuencia $f_k:U\to V$ tal que $\text{dist}(df_k,\text{SO})< 1/k$. Esto implica que la constante de Lipschitz de $f_k$ $L(f_k)< 1+ C/k$ (para algunos $C$, dependiendo únicamente de la dimensión). Por Arcela-Ascoli se puede conseguir que la $f_k$ converge uniformemente a $f:U\to V$ y $L(f)\le 1$. Un simple topológico argumento le da ese $f$ es surjective. Los mismos argumentos trabajo para $f_k^{-1}$, convergiendo a un surjective $g:V\to U$$L(g)\le 1$. Esto implica que $U$ $V$ son isométrica (ver Teorema 1.6.15 en Burago-Burago-Ivanov).

Tal vez se puede mejorar esta prueba en lo que deseas...

Tenga en cuenta que la condición de $\text{dist}(df,\text{SO})< \epsilon$ es equivalente a la puramente métrica de las condiciones (i) $L(f) < 1+\epsilon$, (ii) $f$ es localmente invertible y (iii) $L(f^{-1})< 1+ \epsilon$ donde $L$ es el local de la constante de Lipschitz. El argumento anterior, por tanto, funciona para cualquiera de los dos no isométrica compacto métrica espacios de $U,V$.

Answer 2

$U$ puede ser llevado a ser una métrica de la bola de radio $\delta$ $s\in U.$ reclamo:

1. La imagen de $f$ incluye al menos una bola de radio $\delta c_1(\epsilon)$ $f(s)$ donde $c_1(\epsilon)\to 1$ $\epsilon\to 0.$

   Al $\text{dist}(df,\text{SO})$ es pequeño, la longitud del recorrido son aproximadamente conservado; en particular, no es cierta la desigualdad de la forma $|\gamma'|\leq c_1(\epsilon)^{-1}|(f\circ \gamma)'|$ para las trayectorias $\gamma:[0,1]\to U,$ $c_1(\epsilon)\to 1$ $\epsilon\to 0.$ Dada una línea recta de longitud en la mayoría de las $\delta c_1(\epsilon)$ a partir de a $f(s),$ que puede levantar a un camino de longitud en la mayoría de las $\delta$ $U$ a partir de a $s.$

   Para realizar este ascensor sólo necesitamos la solución de la ODE $df_{\gamma(t)}\circ \gamma'(t)=\text{const}.$ Esto existe por Picard–Lindelöf, la reducción de $\delta$ si es necesario para asegurarse de que la segunda derivada de $f$ está acotada.

2. El volumen de la imagen de $f$ es en la mayoría de las $c_2(\epsilon)\operatorname{vol}(U)$ donde $c_2(\epsilon)\to 1$ $\epsilon\to 0.$

   Me refiero a la costumbre de Riemann volumen, $\sqrt{|g|}dx_1\wedge \dots \wedge dx_n$ en las coordenadas. Esta definición (o cualquier otra definición que usted prefiera) se muestra la forma de volumen es controlado por $g.$

Pero 1 y 2 están en contradicción para el pequeño $\epsilon$ porque $\operatorname{vol}(U)$ es menor que el volumen de un Euclidiana $\delta$-ball.