Ecuaciones del campo de Einstein en el espacio vacío, pregunta sobre la curvatura no nula

Question

Después de la lectura de partes del Capítulo 8 en Hobson, 'teoría General de la Relatividad: Una introducción para los Físicos,' tengo una pregunta con respecto a la observación en la página 184 con respecto a las ecuaciones de campo gravitacional en el espacio vacío. Vemos que en el espacio vacío, el campo de las ecuaciones se reducen a, $$ R_{\mu\nu} = 0 $$ Una tabla es dado, $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{# of spacetime dimensions} & \text{# of field equations} & \text{# indep. components of }R_{\mu\nu\sigma\rho} \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 10 & 20 \\ \hline \end{array} $$ A continuación se indica:

"Así vemos que en dos o tres dimensiones el campo de las ecuaciones en el espacio vacío garantía de que el tensor de curvatura debe desaparecer. En cuatro dimensiones, sin embargo, ... por lo tanto, es posible satisfacer las ecuaciones de campo en el espacio vacío con un no-desaparición del tensor de curvatura."

"... llegamos a la conclusión de que sólo en cuatro dimensiones o más que los campos gravitacionales pueden existir en el espacio vacío."

Esto puede resultar confuso porque seguramente espacio vacío significa que NO hay MATERIA (o energía). Ahora, si el $\underline{\text{curvature of spacetime}}$ está relacionado con el $\underline{\text{matter and energy density}}$, entonces ¿cómo es posible que en 4+ dimensiones no puede ser un no-cero tensor de curvatura? Seguramente, independientemente de las matemáticas, en el espacio vacío que todavía debe ser forzado a cero por el hecho de que no hay nada allí?

Perdona si mi pregunta suena ingenuo, porque yo soy sólo cubre la derivación de las ecuaciones de campo gravitacional ahora por primera vez.

Ref: Hobson, M. P., Efstathiou, G. P., Lasenby, A. N., 2006. Relatividad General: Una introducción para los Físicos. Cambridge: Cambridge University Press

Answer 1

Seguramente, independientemente de las matemáticas, en el espacio vacío que todavía debe ser forzado a cero por el hecho de que no hay nada allí?

La luna gira alrededor de la Tierra a pesar del hecho de que es, para todos los intentos y propósitos, en un vacío (es decir, la cuestión local/densidad de energía es cero).

El punto es que la materia y la energía en una región localizada producir curvatura del espacio-tiempo en otros lugares - incluso si la densidad de energía en las otras regiones se desvanece. Eso ya lo sabe usted - de lo contrario campos gravitacionales no existen en el vacío -, pero en el libro se hace el punto de que las ecuaciones de campo implica que esto sólo es posible para spacetimes con $d\geq 4$.

Answer 2

Creo que una analogía podría ser de ayuda. Pensar acerca de la electrostática. El potencial eléctrico $\Phi$ satisface la ecuación de Poisson

$$\nabla^2\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}.$$

Esta es una ecuación entre las funciones, así que esto significa que cuando se evalúan las dos funciones en el mismo punto están de acuerdo. Si tenemos una región $U\subset \mathbb{R}^3$ a que no hay ninguna carga eléctrica, esto significa que la densidad de carga restringida a $U$, es decir, $\rho|_{U}$ es cero. En otras palabras: si $x\in U$$\rho(x)=0$.

En esta región, es claro que

$$\nabla^2\Phi = 0$$

que es la ecuación de Laplace. El hecho de que en $U$ no hay ningún cargo y $\Phi$ satisface la ecuación de Laplace no es un argumento de la inexistencia de un campo eléctrico en $U$. En realidad, podría haber algo de densidad de carga en otros lugares la producción de un campo.

Un ejemplo común: una localizada la densidad de carga $\rho$ lo que significa que $\rho$ se desvanece fuera de algunos lo suficientemente grande como pelota. Uno de los campos será elaborado y va a ser distinto de cero fuera de la pelota, aunque no hay ningún cargo en otra parte.

Ahora vamos a hablar de la Relatividad General. Ecuaciones de campo de Einstein establece que

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}.$$

Lo que puede suceder perfectamente que la $T_{\mu\nu}$ es distinto de cero en algunas regiones y cero en los demás como en el ejemplo anterior.

Pensar, por ejemplo, una localizada distribución de la materia: uno aislado planeta o estrella.

En estos casos, se puede pensar como que: usted tiene puntos en los que $T_{\mu\nu}\neq 0$ y los puntos en los que $T_{\mu\nu}=0$ y no tiene que ser una solución compatible con estas dos condiciones. Por lo que el $T_{\mu\nu}\neq 0$ región le dará un tensor métrico, el cual debe ser compatible con la solución en $T_{\mu\nu}=0$, por lo que la cuestión de la influencia en la región sin la materia. En otras palabras, la materia en una región que produce la curvatura del espacio-tiempo que puede afectar a las regiones sin importar perfectamente bien.

Por supuesto, la influencia de la materia en las regiones sin la materia no se extiende indefinidamente. Si usted tiene un sistema aislado, por ejemplo, en las regiones cercanas a él, sin materia no hay curvatura del espacio-tiempo producida por el sistema, pero lejos esta influencia se convierta en insignificante y la curvatura del espacio-tiempo debe ir a cero. Esto termina llevando a la definición de assymptotically plana spacetimes.