Acerca de una desigualdad, incluyendo la media aritmética, media geométrica y la media armónica

Question

Para cualquier $n$ positivo números reales $a_i\ (i=1,2,\cdots,n)$, definamos $A,G,H$ $$A=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n},\ G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i},\ H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}.$$

Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta : ¿Cómo podemos encontrar el mínimo valor de un número real $p$ que se cumple la siguiente desigualdad para cualquier $a_i(i=1,2,\cdots,n)$? $$pA+(1-p)H\ge G$$

Ya he encontrado que la respuesta de $n=2$$p=1/2$. Sin embargo, no he tenido ninguna buena idea para $n\ge 3$ en general. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Para demostrar que la búsqueda de la óptima bound es duro, voy a trabajar fuera el caso $n=3$. Hemos encontrado ya que el óptimo se producen en un punto de la forma$(x,x,y)$$x>y$. Voy a normalizar $G=1$, lo $y=1/x^2$. Entonces $$A = \frac{2x + x^{-2}}{3} \quad H = \frac{3}{2x^{-1} + x^2}.$$ Queremos optimizar $$\theta = \frac{1-H}{A-H} = \frac{3 x^2 (2+x)}{2(1+x+x^2)^2}.$$ Macavity enlazado, que es muy hábil e impresionante, es para sustituir a $H$ $G^3/A^2 = 1/A^2$ y considerar la posibilidad de $\phi = \frac{1-1/A^2}{A-1/A^2}$ lugar.

Aquí está una parcela de ambos $\theta$ $\phi$ $1 \leq x \leq 3$ ($\theta$ es azul, $\phi$ es de color rojo). Tenga en cuenta que $\phi > \theta$, $\phi$ es decreciente y $\phi(1) = 2/3$, como Macavity calcula. Sin embargo, $\max \theta < 2/3$.

Tenemos $$\frac{d \theta}{dx} = \frac{3 x (4 + 3 x - 3 x^2 - x^3)}{2 (1 + x + x^2)^3}$$ El máximo global está en la raíz de $4+3x-3x^2-x^3$, que es aproximadamente el $1.36147$. La correspondiente óptimo para $\theta$ es aproximadamente el $0.52605$. (Por supuesto, usted puede conseguir la forma cerrada respuestas utilizando el cúbicos fórmula, pero no son iluminadoras.)

Todavía creo que la búsqueda de niza funciones de $p_n$ que el trabajo es un buen proyecto, pero no creo que usted va a obtener una forma cerrada para la respuesta óptima.

---

Más pensamientos: la Repetición de este tipo de cálculos con $n$ en lugar de $3$, tenemos $$\frac{d \theta}{d x} = \frac{ n x^{n-2} \cdot f(x)}{(n-1) (1-x^n)^3}$$ donde $$f(x) := (n^2-2n+1) - n^2 x + (n^2+2n-2) x^n - n^2 x^{n+1}.$$ Por Descartes' Regla de los signos, $f$ sólo tiene cuatro raíces positivas. Podemos calcular que $f(x)$ tiene una raíz triple a $x=1$, lo que cancela la triple raíz de $(1-x^n)^3$, por lo que es sólo uno de los efectos positivos de la raíz a la atención acerca de.

Me puse a $r=x/y$, ya que esta es independiente de la elección de normalización (por lo $r=x^n$ si queremos normalizar $G=1$.) Los cálculos de $3 \leq n \leq 100$ sugieren que $r$ crece algo como $n \log n$. He copiado y pegado los siguientes números en el formato " $\{ n, r \}$ caso de que alguien quiera jugar con ellos:

{{3, 2.52361}, {4, 4.34916}, {5, 6.40716}, {6, 8.65639}, {7, 11.0686}, {8, 13.6232}, {9, 16.3041}, {10, 19.0987}, {11, 21.9967}, {12, 24.9895}, {13, 28.0699}, {14, 31.2317}, {15, 34.4694}, {16, 37.7785}, {17, 41.1546}, {18, 44.5942}, {19, 48.094}, {20, 51.6509}, {21, 55.2622}, {22, 58.9256}, {23, 62.6388}, {24, 66.3997}, {25, 70.2064}, {26, 74.0572}, {27, 77.9504}, {28, 81.8847}, {29, 85.8585}, {30, 89.8706}, {31, 93.9197}, {32, 98.0047}, {33, 102.124}, {34, 106.278}, {35, 110.464}, {36, 114.683}, {37, 118.932}, {38, 123.212}, {39, 127.521}, {40, 131.859}, {41, 136.225}, {42, 140.618}, {43, 145.039}, {44, 149.485}, {45, 153.957}, {46, 158.454}, {47, 162.975}, {48, 167.521}, {49, 172.09}, {50, 176.681}, {51, 181.296}, {52, 185.933}, {53, 190.591}, {54, 195.271}, {55, 199.971}, {56, 204.693}, {57, 209.434}, {58, 214.196}, {59, 218.976}, {60, 223.776}, {61, 228.595}, {62, 233.433}, {63, 238.289}, {64, 243.163}, {65, 248.054}, {66, 252.963}, {67, 257.889}, {68, 262.833}, {69, 267.792}, {70, 272.769}, {71, 277.761}, {72, 282.77}, {73, 287.794}, {74, 292.834}, {75, 297.89}, {76, 302.96}, {77, 308.046}, {78, 313.146}, {79, 318.261}, {80, 323.39}, {81, 328.533}, {82, 333.691}, {83, 338.862}, {84, 344.047}, {85, 349.246}, {86, 354.458}, {87, 359.683}, {88, 364.922}, {89, 370.173}, {90, 375.437}, {91, 380.714}, {92, 386.003}, {93, 391.305}, {94, 396.619}, {95, 401.945}, {96, 407.283}, {97, 412.634}, {98, 417.995}, {99, 423.369}, {100, 428.754}}

Si $r \approx n \log n$ es correcto, y yo elija $(1,1,1,\ldots, 1, 1/(n \log n))$ como mi representante, luego me sale $$A \aprox 1 - 1/n, \ G \aprox 1-\log n /n,\ \ H \aprox 1/\log n \ \mbox{y} \ \theta \aprox 1-\log n/n.$$ Pero la búsqueda explícita de las desigualdades que conseguir este comportamiento no suena divertido para mí.

Answer 2

Por Maclaurin de la Desigualdad, $S_1 \ge \sqrt[n-1]{S_{n-1}} \implies S_1^{n-1} \ge S_{n-1} \implies A^{n-1}H \ge G^n$.

Así que si nos normalizar con $A=1$, sabemos $0 < H \le G \le A = 1$ y tenemos $H \ge G^n$ con la igualdad cuando la $H=G=A=1$.

El normalizada de la desigualdad es $p+(1-p)H \ge G$, y con el de arriba enlazado, es suficiente para tener $p+(1-p)G^n \ge G$. Como este debe poseer $\forall G \in (0, 1]$ debemos tener: $$p \ge \frac{G-G^n}{1-G^n}$$

Como la RHS alcanza un máximo de $1-\frac1n$ al $G \to 1$, tenemos $p_n \ge 1-\frac1n$. Así tenemos: $$\left(1-\tfrac1n \right)A+\tfrac1nH\ge G$$

---

Actualizado basado en David Speyer comentar y publicar, como un límite superior en lugar de la óptima $p_n$ ...

Para $n=3, 4, 5, ...10$, el mínimo de $p_n$ parecen ser $\approx$ $$\begin{array}{ l | c } \hline 3 & 0.52605 \\ \hline 4 & 0.56301 \\ \hline 5 & 0.59660 \\ \hline 6 & 0.62560 \\ \hline 7 & 0.65055 \\ \hline 8 & 0.67213 \\ \hline 9 & 0.69095 \\ \hline 10 & 0.70752 \\ \hline \hline \end{array}$$

P. S. La tabla anterior se calcula numéricamente encontrar el máximo de $$p_n = \max_{x>1} \frac{G_n-H_n}{1-H_n} = \max_{x>1} \frac{\sqrt[n]{x^{n-1}(n-(n-1)x)}-\frac{n}{(n-1)/x+1/(n-(n-1)x)}}{1-\frac{n}{(n-1)/x+1/(n-(n-1)x)}}$$

Answer 3

En esta respuesta, se muestra que para $n$ elementos con una media aritmética de $1$ y una media armónica de $h$, la media geométrica es la entre $g(h,\frac1n)$ $g(h,\frac{n-1}n)$ donde $$g(h,\lambda)=\frac{\left(\sqrt{1+4\frac{h}{1-h}\lambda(1-\lambda)}+1\right)^\lambda\left(\sqrt{1+4\frac{h}{1-h}\lambda(1-\lambda)}-1\right)^{1-\lambda}}{\sqrt{1+4\frac{h}{1-h}\lambda(1-\lambda)}+2\lambda-1}\tag{1}$$ Podemos calcular el mínimo de $p$ que va a trabajar para un determinado $n$ $h$ con $$p(n,h)=\frac{g(h,\frac{n-1}{n})-h}{1-h}\etiqueta{2}$$ La maximización de la $p(n,h)$$h\in[0,1]$, obtenemos $$\begin{array}{r|c|c} n&p&h\\\hline 2&0.50000000&1.00000000\\\hline 3&0.52604991&0.83027796\\\hline 4&0.56301305&0.67404567\\\hline 5&0.59659653&0.57799531\\\hline 6&0.62560358&0.51531972\\\hline 7&0.65054843&0.47136304\\\hline 8&0.67212783&0.43872876\\\hline 9&0.69095251&0.41342714\\\hline 10&0.70751470&0.39314442\\\hline \end{array}\etiqueta{3}$$ lo cual está de acuerdo con Macavity la respuesta.