Cuadráticas que no producen números primos

Question

Hay algunos famosos polinomios que producen una serie de números primos consecutivos, incluyendo el de Euler $n^2 + n + 41$, lo que produce primos de $0 \leq n \leq 39$.

Lo he estado pensando recientemente son polinomios cuadráticos con coeficientes enteros que no producen ningún prepara a todos para $n \geq 0$. Hay casos triviales:

$$ n^2 + n $$

$$ un^2 + bn + c \quad\quad \gcd(a, b, c) > 1 $$

Hay al menos una familia de polinomios que el límite es trivial, pero vale la pena mencionar:

$$ n^2 + (2a - 1)n + a^2 \quad\quad\quad \text{par} $$

Todos los valores de los polinomios de esta forma son aún; el lector puede comprobar fácilmente usando la regla de la paridad. Lo que yo soy muy curioso es el caso cuando se $a$ es impar.

¿Existe un $a \in \mathbb{N}$ tal que $$f_a(n) = n^2 + (2a - 1)n + a^2 \quad,\quad a\quad \text{odd}$$ no produce primos de $n \geq 0$?

Se puede demostrar utilizando la regla de la paridad de que $f_a$ es extraño que todos los $n$.

Cualquier pensamiento apreciado.

Answer 1

Se sabe muy poco acerca de las preguntas de este formulario. Sorprendentemente, poco, la verdad. El Bouniakowsky Conjetura nos diría que cualquier polinomio irreducible (de grado $>1$) con coeficientes enteros toma infinitamente muchos primeros valores a MENOS que exista alguna prime $p$ que se divide cada uno de los valores del polinomio en números enteros.

Para el estrés: no afirmativa ejemplos de esto son conocidos. Peor aún, se desconoce si un polinomio debe tener siquiera un solo primer valor. Hay ejemplos donde el primer primer valor se produce inesperadamente alta argumentos.

Hacemos la observación de que su polinomios satisfacen las condiciones de la conjetura. Son irreducibles sobre $\mathbb R$, así que sin duda irreductible $\mathbb Z$. Y no es el primer que divide a todos los valores en números enteros. De hecho, se calcula: $$f(0)=a^2\quad \& \quad f(-1)=a^2-2a+2$$

Cualquier prime $p$ que divide ambos de los que se tienen que dividir $2$ (ya que tendría que dividir $a$). Pero $a$ se supone que ser impar, así que esto es imposible.