Cohetes en el vacío vs. Cohetes en la tierra

Question

Recientemente mi profesor de física durante una charla dijo algo que despertó mi interés. Aquí está lo que dijo "Hay más problemas visitando otras estrellas si quisieras que un cohete fuera al 99% de la velocidad de la luz necesitarías una cantidad extrema de energía y la misma cantidad de energía para también detener ese cohete una vez que estuvieras en tu destino y quisieras aterrizar con seguridad".

Pero, esto me parece impar porque en este desvarío estaba hablando de la tierra a Alfa Centauri. Así que él está diciendo que la cantidad de energía a ambos comienza a ir .99 c y parar es lo mismo. Pero, un vacío no tiene fricción y el cohete no tiene que luchar contra el 1g aquí en la tierra, así que ¿cómo podrían tener la misma energía total?

Una idea que se me ocurre es que utilizar la gravedad de la tierra como honda podría compensar el tener que luchar contra la gravedad terrestre y la resistencia del aire.

Mi pregunta concreta es si tiene razón. Y, si la tiene, ¿por qué? (Matemáticas hasta pre-calc está bien).

Answer 1

Considere la energía $E_1$ necesario para eliminar $1$ kg de la gravedad de la Tierra. Esto viene dado por:

$$ E = \frac{GM}{r} $$

donde $r$ es el radio de la Tierra, y esto resulta ser aproximadamente:

$$E_1 = 6.3 \times 10^7 \,\text{J} $$

Ahora considere la energía $E_2$ necesario para acelerar esa $1$ kg a $0.99c$ . La energía total viene dada por la ecuación relativista de la energía:

$$ E^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 $$

Si calculamos esto para $1$ kg en $0.99c$ y luego restar la energía restante $mc^2$ que nos rodea:

$$ E_2 = 5.4 \times 10^{17} \,\text{J} $$

Así que la energía necesaria para alejarse de la gravedad de la Tierra, $E_1$ es aproximadamente $0.000000012\%$ de la energía, $E_2$ , necesaria para alcanzar la velocidad final. Por eso la diferencia que supone en las energías de aceleración y desaceleración es insignificante.

Un argumento similar se aplica a la resistencia del aire. Para llegar a $0.99c$ a una aceleración soportable, es decir, del orden $g$ la mayor parte de la aceleración se haría después de haber dejado la atmósfera. Así que el efecto de la resistencia del aire también sería insignificante.

Answer 2

Las respuestas anteriores son correctas; sólo me gustaría aportar una explicación más "hablada" y menos técnica (y, por tanto, también menos precisa, debo señalar). (Los puntos altos están en negrita .)

Si he entendido bien, lo que no tienes claro es por qué el profesor dice que la energía requerida es la "misma" para ir desde la Tierra y para detenerse en A Centauri . Si esa no es la parte que quieres saber, corrígeme.

Suponiendo que sea lo que quieres saber: La fricción de la atmósfera y la atracción de la gravedad de la Tierra son bastante insignificante en comparación con la energía necesaria para acelerar a 0,99c, y me parece que su profesor estaba hablando en términos conceptuales en lugar de dar un cálculo preciso. Es decir, no creo que hayan querido decir que las energías de aceleración y desaceleración son exactamente iguales; más bien, que son " ampliamente igual ". En ese sentido, fueron esencialmente correcto .

Lo que tu profesor probablemente no tuvo en cuenta (posiblemente por no querer complicar más el ejemplo) es que si la nave necesita transportar combustible (como para un cohete), ésta se vuelve más ligero a medida que sigue quemando ese combustible y, por lo tanto, la energía necesaria para lograr una determinada aceleración/desaceleración (son lo mismo; la desaceleración no es más que una aceleración en sentido contrario, dicho de forma muy sencilla) disminuye, ya que la energía necesaria para una aceleración constante es una función de la masa del objeto a acelerar .

Así, el barco necesitaría realmente menos energía para desacelerar de lo que había necesitado para acelerar, si es impulsado por un motor de cohete o algún otro motor que consume cantidades significativas de combustible . Por otro lado, un hipotético motor nuclear o de fusión probablemente consumiría el combustible mucho más lentamente (porque obtiene mucha más energía de la quema de una cantidad determinada de combustible, por lo que necesita quemar menos masa de combustible en general para hacer el viaje), y por lo tanto la masa de la nave cambiaría menos a lo largo del viaje y, por lo tanto, también las cantidades de energía requeridas para acelerar y desacelerar estarían más cerca de ser iguales; posiblemente mucho más cerca que con un cohete.

Volviendo a la gravedad planetaria y al arrastre atmosférico: En un Atmósfera similar a la de la Tierra La cantidad de arrastre que se produce (especialmente en los escasos ~100 km de espesor de la atmósfera que debe atravesar la nave desde la superficie hasta el espacio) es diminuto en relación con la energía necesaria para llegar a 0,99c .

Gravedad planetaria tiene un efecto algo mayor, pero de nuevo insignificante en comparación con la energía necesaria para acelerar hasta la velocidad final. Y como en el caso de la atmósfera, la la gravedad se hace más débil cuanto más se aleja del planeta atenuándose básicamente a nada en unos pocos miles de kilómetros (que es distancia prácticamente nula en relación con un viaje de unos 40.000.000.000 de kilómetros).

Por último, a menos que tu profesor diga lo contrario, no hay razón para suponer que el destino no es un planeta similar a la Tierra . (Sabemos que no hay ninguno así en el sistema A Centauri IRL, pero entonces, este era un ejemplo teórico). Si es así, entonces tanto la gravedad como la resistencia atmosférica en el destino serán comparables a la de la Tierra , lo que hace que la situación sea simétrica en este sentido.

De manera realista si el destino es un planeta rocoso del tamaño de la Tierra (como Alfa Centauri Cb , también conocido como Próxima Centauri b), entonces tendrá más o menos la gravedad de la Tierra. Incluso si no tiene atmósfera (actualmente no podemos saberlo sobre A Cen Cb), la la atracción gravitacional es mucho mayor que la fricción atmosférica para condiciones similares a las de la Tierra; es decir, la situación seguiría al menos en su mayor parte simétrica .

Espero que eso te aclare un poco.

Mike

EDIT: Sobre los efectos relativistas : Son no es realmente importante para su pregunta . Por supuesto que estarían presentes, pero como son simétricos para la fase de aceleración y desaceleración del viaje, y aumentan en magnitud a medida que la velocidad se acerca a c, tienen ningún impacto real en la asimetría potencial de las necesidades de energía para el "despegue" y el "aterrizaje" ya que en ambas fases la nave irá increíblemente lenta en comparación con la velocidad de la luz.

En cuanto a lo que los "efectos relativistas" realmente hacer : En pocas palabras, la energía necesaria para lograr la misma aceleración de la nave aumenta a medida que la velocidad de la nave se acerca a c; muy cerca de c, los aumentos se vuelven enormes. ( Serían infinitas a c, que es, de forma muy sencilla, la razón por la que ningún objeto masivo puede alcanzar realmente c, sólo acercarse a una fracción arbitrariamente cercana. ) Para 0,99c, la nave aceleraría como si su masa fuera unas 7 veces mayor de lo que "realmente" es.

La razón: Porque la masa del barco en realidad sería mayor Al menos desde el punto de vista de un observador en relación con el cual la nave estuviera haciendo 0,99c. La energía es, en definitiva, lo mismo que la masa Y un objeto en movimiento tiene energía cinética; la energía cinética a 0,99c es tan alta que "pesa" el adicional de ~6 veces la masa "normal" de la nave (es decir, la masa en reposo).

Así que, en este caso, los efectos relativistas aumentan la energía global necesaria para realizar el viaje, pero como están (efectivamente) ausentes en las fases de "despegue" y "aterrizaje" en las que se centra tu pregunta, sólo sirven para disminuir aún más la importancia relativa de las energías de despegue y aterrizaje como proporción del coste energético total del viaje.

Pero no te equivoques, incluso descontando los efectos relativistas (que no es físico, es decir, sólo un experimento mental) la energía para salir / entrar en una atmósfera planetaria / pozo de gravedad sigue siendo insignificante en comparación con la energía necesaria para el resto del viaje hasta 0,99c y vuelta.

Esta es la mejor explicación que puedo dar sin explicar el concepto básico de relatividad especial en su totalidad, que es mucho más allá del alcance de este post .

Answer 3

Se necesita una enorme cantidad de energía para alcanzar una velocidad cercana a la de la luz, aunque el espacio interestelar esté casi vacío.
Consideremos las cuatro fuerzas en SR (relatividad especial)
$F^\mu = dP^\mu / d\tau = m dU^\mu / d\tau $ (1)
donde:
$F^\mu$ cuatro fuerzas
$P^\mu$ cuatro momentos
$m$ masa en reposo (propia)
$U^\mu$ cuatro velocidades
$\tau$ tiempo adecuado
Sin embargo, $d / d\tau = \gamma d / dt$ donde el factor de Lorentz $\gamma = dt / d\tau = 1 / \sqrt{1-v^2/c^2}$ y $v$ es la triple velocidad, por lo que (1) puede escribirse
$F^\mu = \gamma m dU^\mu / dt$
A medida que la velocidad $v$ se acerca a la velocidad de la luz el $\gamma$ aumenta hacia el infinito y la fuerza requerida para impulsar la nave espacial sigue, pidiendo una cantidad consecuente de energía. El mismo razonamiento cuando tiene que desacelerar.
Nota: La argumentación está simplificada suponiendo que la masa en reposo es constante. Por supuesto, para impulsar una nave espacial a la velocidad deseada es necesario consumir combustible, reduciendo así la masa; sin embargo, la cuestión aquí es destacar la razón fundamental por la que un viaje cercano a la velocidad de la luz requiere una enorme cantidad de energía. Esta es una peculiaridad de la RS, que no se encuentra en la mecánica newtoniana.