Un juego con $n$ jugadores - II

Question

Considere la posibilidad de $n$ jugador numeradas $1,2,\ldots,n$. Si el jugador $i$ lucha contra la $j$ $i$ gana con probabilidad de $i/(i+j)$. No hay lazos.

Un jugador $i_1$ es extraído al azar. Luego, un segundo jugador diferente $i_2$ es extraído al azar. Luchan el uno contra el otro.

A continuación, se extrae de otro jugador $i_3$ ($\neq i_1,i_2$). El ganador de la última ronda de lucha contra las $i_3$.La lucha continúa hasta que todos los jugadores han sido extraídos, por lo tanto $n-1$ peleas en total.

Ahora bien, dado $i\le j$, creo que el jugador $i$ gana el juego con probabilidad en la mayoría de las $i/j$ veces la probabilidad de que el jugador $j$ gana el juego. (Puedo demostrarlo de forma manual para $n\le 4$.)

Pregunta. Es posible demostrar que para todos los $n$?

Ps. Otra de las propiedades del mismo juego se ha pedido aquí.

Ps2. Es un "conocido juego" ?

Answer 1

Para completar mi comentario un poco: usted puede extender sus cálculos más sin mucha dificultad, al menos a $n=10$ o $n=12$ish. Iterar sobre todos los $n!$ permutaciones de $1..n$, y para cada permutación $\rho=p_1p_2p_3\ldots p_n$ (tenga en cuenta que este es el 'mapeo' de notación, no ciclo de notación) se puede calcular la probabilidad de que cada número es el ganador por mantener una lista de las probabilidades de $x_1, \ldots, x_n$ que cada elemento es el ganador del torneo (para el actual permutación): inicializar con $x_{p_1}=1$, y, a continuación, en el paso $i$ ($i=2\ldots n$), establezca $x_{p_j}=x_{p_j}\times\dfrac{p_j}{p_j+p_i}$ todos los $j\lt i$, y establecer $x_{p_i}=1-\sum_{j\lt i}x_{p_j}$. Por último, sólo acumulan a lo largo de todas las permutaciones.