Mostrando $8.9<\int_3^5 \sqrt{4+x^2} \, \mathrm d x < 9$

Question

Se me pide que muestran que

$$8.9<\int_3^5 \sqrt{4+x^2} \, \mathrm d x < 9$$

Traté de calcular la integral pero termino con

$$\frac 5 2 \sqrt{29} - \frac 3 2 \sqrt{13} + 2 \log{\left(\frac {5 + \sqrt{29}} {3+\sqrt{13}}\right)}$$

lo que realmente no es fácil aproximado. Yo estaba pensando que podría ser una forma inteligente de delimitador el integrando con dos funciones que son bastante fácil de integrar. Yo estaba pensando en serie de Taylor, pero no estoy seguro de cómo me puedo asegurar de que me da un verdadero obligado frente a una mera aproximación.

Answer 1

Deje $f(x)=\sqrt{4+x^2}$. A continuación, $f$ es convexa en a$[3,5]$, por lo que la integral de la $I$ es menor que el área del trapecio sobre el gráfico: $$ I < \frac{f(3)+f(5)}{2}\cdot (5-3) = f(3)+f(5) = \sqrt{13}+\sqrt{29} \approx 8.99 < 9 $$

Answer 2

Para $\,3<x<5\,$ tenemos $\,3.55+0.9(x-3)<\sqrt{4+x^2}<3.61+0.89(x-3)\,$ .

Es fácil de justificar mediante el establecimiento $\,x:=z+4\,$ $\,-1<z<1\,$ y por la desigualdad de conversión a

$-0.0321-0.01(1+z)-0.2079(1-z^2)<0<0.1875+0.01(1-z)+0.19z^2\,$.

La integración de $\,x\,$ $\,3\,$ $\,5\,$pruebas de la asunción.

Answer 3

$$\int_{3}^{5}\sqrt{4+x^2}\,dx = \int_{0}^{1}\underbrace{\sqrt{4+(4-x)^2}+\sqrt{4+(4+x)^2}}_{f(x)}\,dx $$ donde $f(x)$ es creciente y convexa en el intervalo de $[0,1]$, pasando de las $f(0)=4\sqrt{5}$$f(1)=\sqrt{13}+\sqrt{29}$. Por el Hermite-Hadamard la desigualdad se sigue que la quería integral se entre $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{65}+\sqrt{97}}{2}\geq 8.9555\ldots$$\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{29}}{2}\leq 8.9675$.

Desde $f(x)$ es esencialmente una ecuación cuadrática comportamiento en $[0,1]$, la aproximación dada por la regla de Simpson $\frac{f(0)+4f\left(\frac{1}{2}\right)+f(1)}{6}\approx \color{green}{8.9595}4$ es bastante precisa.