Cuando hacemos series de Taylor de proporcionar una perfecta aproximación?

Question

A mi entender, la serie de Taylor es un tipo de alimentación de la serie que proporciona una aproximación de una función en un punto específico $x=a$. Pero, ¿bajo qué circunstancias es esta aproximación perfecto, y bajo qué circunstancias es "off" incluso en el infinito?

Me doy cuenta de que es un poco borroso así que voy a decir: Por "perfecto", me refiero a la forma de un límite regular no realmente alguna vez llegar a algo, pero en cambio ofrece una especie de término de error que usted puede hacer tan pequeño como se desee, de modo que para todos los efectos prácticos, la tratamos como error de cero. Mientras que para algo que es una aproximación imperfecta que tal vez arbitrariamente pequeño error pieza no existe, o tal vez la función sólo es correcto para ese punto en particular y en ningún otro lugar, etc.

Así que tal vez lo que yo estoy pidiendo es cuando la serie de Taylor proporciona una representación equivalente de la función sobre todos los $x$ $f$'s de dominio, y cuando no? Y cuando no es así, ¿cómo podemos saber siquiera?

Answer 1

Los límites son exactas

Tienes un malentendido acerca de los límites! Un límite, cuando existe, es sólo un valor. Un exacto valor.

No tiene sentido hablar sobre el límite de llegar a algún valor, o que hay algún error. $\lim_{x \to 1} x^2$ es sólo un número, y ese número es exactamente uno.

Lo que está describiendo — estas ideas sobre el "alcance" de un valor con un poco de "error", son descripciones del comportamiento de la expresión $x^2$$x \to 1$. Entre las características de este comportamiento es que el $x^2$ es "llegar".

Por su propia definición, el límite es el exacto valor que su expresión es "llegar". $x^2$ puede ser "aproximadamente", sino $\lim_{x \to 1} x^2$ es exactamente uno.

Los polinomios de Taylor

En esta luz, casi todo lo que has dicho en tu post no es acerca de Taylor de la serie, pero, en cambio, sobre Taylor polinomios. Cuando una serie de Taylor existe, la Taylor polinomio está dado simplemente por el truncamiento de la serie a un número finito de términos. (Polinomios de Taylor puede existir en situaciones donde la serie de Taylor no)

En general, la definición de la $n$-ésimo orden de polinomio de Taylor para una $n$-veces derivable la función es la suma

$$ \sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) \frac{x^k}{k!} $$

Los polinomios de Taylor, por lo general, no son exactamente igual a la función original. El único momento en que pasa es que cuando la función original es un polynonial de grado menor o igual a $n$.

La secuencia de los polinomios de Taylor, como $n \to \infty$, pueden converger para algo. La Taylor de la serie es exactamente el valor que los polinomios de Taylor converge a.

El error en la aproximación de una función por un polinomio de Taylor es algo que la gente del estudio. A menudo se habla de la "resto término" o el "Taylor resto", que es precisamente el término de error. Hay una serie de teoremas que poner restricciones en lo grande que es el término de error puede ser.

Serie de Taylor pueden tener errores!

A pesar de todo lo anterior, una de las grandes sorpresas de análisis real es que una función puede no ser igual a su serie de Taylor! Hay un notorio ejemplo:

$$ f(x) = \begin{cases} 0 & x = 0 \\ \exp(-1/x^2) & x \neq 0 \end{cases} $$

usted puede probar que $f$ es infinitamente diferenciable en todas partes. Sin embargo, todos sus derivados tienen la propiedad de que $f^{(k)}(0) = 0$, por lo que su desarrollo en serie de Taylor alrededor de cero es simplemente el cero de la función.

Sin embargo, podemos definir

Una función de $f$ es analítica en un punto de $a$ si hay un intervalo alrededor de a $a$ que $f$ es (exactamente) igual a su serie de Taylor.

"La mayoría de las" funciones de los matemáticos trabajan con son funciones analíticas (por ejemplo, todas las funciones trigonométricas son analíticas en su dominio), o analítica, excepto por obvias excepciones (por ejemplo, $|x|$ no es analítica en cero, pero es analítica en todas partes).

Answer 2

Esta es la pregunta fundamental detrás del resto de las estimaciones de Taylor Teorema. Normalmente (es decir, lo suficientemente funciones diferenciables, y suponiendo sin pérdida de generalidad que estamos expandiendo a $0$), tenemos estimaciones de la forma $$ f(x) = \sum_{n = 0}^N f^{(n)}(0) \frac{x^n}{n!} + E_N(x)$$ donde el error de $E_N(x)$ está dada explícitamente por $$ E_N(x) = \int_0^x f^{(N+1)}(t) \frac{(x-t)^N}{N!} dt,$$ aunque esta frecuencia es aproximada por $$ |E_N(x)| \leq \max_{t \in [0,x]} |f^{(N+1)}(t)| \frac{x^{N+1}}{(N+1)!}.$$

Una serie de Taylor se reunirán a $f$ $x$ si $E_N(x) \to 0$$N \to \infty$. Si los derivados que se comportan bien, entonces esto es relativamente fácil de entender. Pero si los derivados que son muy difíciles de entender, esta pregunta puede ser muy difícil de determinar.

Hay ejemplos de infinitamente diferenciable funciones cuya serie de Taylor no convergen en cualquier barrio de la expansión central punto, y hay ejemplos de funciones con bastante difíciles de entender derivados cuya serie de Taylor converge en todas partes a la función. Pedir más es un poco matizada para cada función individual.

Answer 3

Supongamos que tenemos una función suave $f$. Su serie de Taylor en un punto de $a$ es la serie$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\tag1$$So, what you want to know is this: when does this series converge to $f(x)$ for each $x$ in the domain of $f$. In order to determine that, we study the remainder of the Taylor series, which is$$f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$Given $x$ in the domain of $f$, the series $(1)$ converges to $f(x)$ if and only if the limit of the sequence of the remainders is $0$. This is what happens (for every $x$) en el caso de la función exponencial, la función seno o el coseno función.

El peor caso es cuando se tiene una función como$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&\text{ if }x\neq0\\0&\text{ if }x=0.\end{cases}$$In this case, the Taylor series at $0$ is just the null series, which converges to $f(x)$ when (and only when) $x=0$.

Answer 4

Creo que la respuesta que estás buscando es un importante teorema en el análisis complejo:

Serie de Taylor proporcionan una perfecta aproximaciones para holomorphic funciones.

Holomorphic funciones son funciones que son complejas-diferenciable, es decir, las funciones de $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ para que el complejo derivado

\begin{align*} f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}} \end{align*}

es bien definida (es decir, el límite existe y es única) en todas las $z_0 \in \mathbb{C}$ en sus dominios.

Esta condición es mucho más fuerte que la de ser diferenciable en los reales. De hecho, no sólo implica infinito-la diferenciabilidad, pero también ha sido demostrado ser precisamente la condición necesaria para $f$ a ser analítica (es decir, que la serie de Taylor converge a la función en todas partes).

Answer 5

El término para lo que usted describe es "analítica". Todas estas son condiciones suficientes para ser analíticos:

1. Polinomio

2. Exponencial (tenga en cuenta que uno puede generar funciones trigonométricas a partir de las funciones exponenciales)

3. Suma de funciones analíticas

4. Producto de funciones analíticas

5. Derivado de la analítica de la función

6. Composición de funciones analíticas

7. Recíproca de una analítica de la función de la nada igual a cero

8. Inversa de una analítica de la función con derivadas nada igual a cero

9. Integral de una analítica de la función (creo)

No estoy seguro de si cada una analítica de la función puede ser construido usando estas reglas, pero la mayoría de las funciones analíticas que lidiar con, probablemente, puede ser.