Supongamos $G$ $H$ son grupos y tenemos una equivalencia de categorías entre las $G\textrm{-}\mathbf{Set}$$H\textrm{-}\mathbf{Set}$. (Uno puede pensar en esto como una forma de "no lineal de equivalencia de Morita".) ¿Qué se puede decir acerca de la $G$$H$? Sospecho que $G$ $H$ tienen que ser isomorfo, pero no puedo demostrarlo. Si esto es demasiado difícil en general, yo también estoy interesado en el caso de que $G$ $H$ son asumidos para ser finito.
Aquí están algunas cosas que he probado:
Desde $G$-los módulos son el grupo abelian objetos en $G\textrm{-}\mathbf{Set}$, obtenemos un Morita equivalencia entre el$\Bbb{Z}[G]$$\Bbb{Z}[H]$. Así que si nos tensor con cualquier campo de $k$, obtenemos un Morita equivalencia entre el$k[G]$$k[H]$.
Supongamos por un momento que $G$ $H$ son finitos. Si tomamos $k = \Bbb{C}$, esto significa que $G$ $H$ tienen el mismo número de representaciones irreducibles, por lo que el mismo número de clases conjugacy. Si tomamos $k=\Bbb{R}, \Bbb{Q}, \overline{\Bbb{F}_p}$, también se obtiene el mismo número de la real, lo racional y lo $p$-regular de clases conjugacy.
Mientras que este enfoque da algunas propiedades comunes entre $G$$H$, no es posible concluir que $G$ $H$ son isomorfos, porque no se conocen ejemplos de no-isomorfo grupos finitos con isomorfo integral del grupo de álgebras. (Ver aquí) Esto significa que tenemos que utilizar algunos de los "no lineal" de la información de la categoría $G\textrm{-}\mathbf{Set}$.
Otra cosa que he considerado es que la automorphism grupo de los desmemoriados functor $G\textrm{-}\mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ es isomorfo a $G$, por un simple Yoneda-argumento, así que si de alguna manera podríamos reconstruir el olvido functor sólo a partir de la categoría de $G\textrm{-}\mathbf{Set}$, esto demostraría que $G$ $H$ debe ser isomorfo. No he sido capaz de hacer esto, pero yo reconstruida algunos otros functors: El terminal del objeto en $G\textrm{-}\mathbf{Set}$ es un punto de set con un trivial de acción, denotar esta $G$-ajuste por $\{*\}$, tenemos un natural bijection $\operatorname{Hom}_{G\textrm{-}\mathbf{Set}}(\{*\},X) \cong X^G$ donde $X^G$ denota el conjunto de puntos fijos bajo la acción de $G$. Así que se puede reconstruir el punto fijo functor $G\textrm{-}\mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$. La izquierda adjoint de que functor es el functor $\mathbf{Set} \to G\textrm{-}\mathbf{Set}$, lo que le da a cada grupo un trivial $G$-acción. Denotar $X$ con un trivial $G$-acción por $X_{triv}$. Tenemos $\operatorname{Hom}_{G\textrm{-}\mathbf{Set}}(X,Y_{triv}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X/G,Y)$, por lo que el functor que envía cada uno de los $G$-ajuste a la órbita espacio de $X/G$ medico adjunto del functor que da a cada grupo un trivial $G$-acción, por lo que se puede reconstruir el functor $X \mapsto X/G$ a partir de la categoría de $G\textrm{-}\mathbf{Set}$. No estoy seguro si eso es útil.
Tal vez es incluso posible que $G$ $H$ no tiene que ser isomorfo? Estoy buscando para un contraejemplo o una prueba.
