Velocidad de los electrones en un alambre metálico portador de corriente: ¿tiene sentido incluso?

Question

¿Tiene sentido hablar sobre la velocidad de los electrones en un alambre que lleva corriente (no conductor perfecto)? Si es así, ¿cuál es su velocidad?

Aquí están mis pensamientos:

En Internet (Wikipedia, physicsforums, aquí en PSE, etc., y muchos otros sitios web), se puede leer que los electrones se mueven aleatoriamente a altas velocidades pero que su velocidad promedio, llamada velocidad de deriva, es $\vec 0$ cuando no se aplica corriente y muy pequeña (unos pocos cm/s como máximo) cuando se aplica corriente. Sin embargo, como Ron Maimon escribió, esta suposición se basa en el modelo de Drude de un conductor, que se sabe que es incorrecto en muchos aspectos. En ese modelo, los electrones son como partículas de un gas ideal clásico, con una posición y velocidad bien definidas en todo momento. Sin embargo, han pasado muchas décadas desde que ese modelo fue sustituido por modelos de MQ que invocan una función de onda para describir los electrones en el material. No sé qué modelos exactamente (¿unión estrecha por ejemplo?).

Ron Maimon escribió:

las funciones de onda electrónicas están dispersas en un metal. La noción correcta de la velocidad del electrón es la velocidad de Fermi, que es enormemente típicamente, porque la longitud de onda es de aproximadamente 1 radio atómico. Si bien no es lo mismo que la velocidad de la electricidad que va por el cable (que es la velocidad de las perturbaciones del campo, alguna fracción significativa de la velocidad de la luz), es enormemente alta.

Entonces él habla sobre una velocidad Fermi, como si tuviera sentido una velocidad. También he leído (de él y creo que del libro de Ashcroft y Mermin "Física del estado sólido") que solo los electrones cerca de la energía de Fermi contribuyen a la conductividad eléctrica. Si esto es correcto, entonces puedo entender por qué la velocidad Fermi tiene algo de sentido, porque esa es la velocidad que tendría un electrón en el vacío si tuviera una energía igual a la energía de Fermi. Involucré el vacío porque creo que el electrón puede tener un momento (y por lo tanto una velocidad) bien definidos, a diferencia de en un metal conductor sólido. ¿Estoy equivocado?

Entonces la respuesta correcta sería que en realidad, ni siquiera tiene sentido hablar sobre la velocidad de los electrones en un alambre de metal que lleva corriente. Si los electrones conductivos (los responsables de la conductividad eléctrica) fueran de alguna manera instantáneamente colocados en un vacío sin cambiar su energía, podrían tener una velocidad (asumiendo que se realiza una medición, supongo? Es decir, un colapso de la función de onda en un estado propio del operador de momento.) velocidad igual a la velocidad Fermi. Por lo tanto, no hay tal cosa como una velocidad de deriva, y la afirmación común de que una corriente alterna casi impide el movimiento de los electrones también es falsa. De hecho, he visto la afirmación de que los electrones se mueven a la velocidad de deriva de un lado a otro y por lo tanto los electrones están casi estáticos (ver aquí por ejemplo). Esta vista es completamente errónea. ¿Estoy equivocado aquí también?

Answer 1

Como todo en la física, tiene sentido hablar de una cierta cantidad así en el contexto de un modelo. Y nos preocupamos porque el modelo es (al menos ocasionalmente) útil. Considera la pregunta

"¿Por qué la corriente en un circuito doméstico con una curva en el alambre no irradia a alta potencia?"

Claramente la carga es acelerada al pasar por la curva, y la aceleración implica radiación. Pero la cantidad de carga y la aceleración a la que está sometida hacen la diferencia.

Una noción funcional de la velocidad de los electrones es una manera de abordar el problema (y una que es accesible para los estudiantes en la clase introductoria).

Answer 2

Voy a secundar la noción de dmckee de que conceptos como la velocidad necesitan contexto. Cada variable en cada teoría necesita interpretación para conectarla con nuestra intuición cotidiana. Por ejemplo, aquí está una teoría: $F=ma$. Esta teoría no tiene significado más allá de las matemáticas de una ecuación diferencial si no interpretamos $F$ como algo que tenga sentido a la luz de nuestra intuición de lo que es una "fuerza".

Entonces, ¿qué queremos decir con la velocidad de un electrón? Depende del contexto teórico. Si tienes un contexto clásico, por ejemplo, de Drude, entonces sí, los electrones son simplemente bolas de carga que rebotan como bolas de billar. Y la velocidad que calcularías en este contexto es la verdadera velocidad tanto como una velocidad clásica que calcularías mediante $F=ma$. Solo porque tu teoría no sea la "más profunda" no significa que no sea real (siempre y cuando sea consistente con el experimento). Si ese fuera el caso, entonces ninguna física sería "real" porque nadie ha descubierto la teoría definitiva de todo.

Como nota al margen, ¿por qué tanto odio hacia el modelo de Drude? Considerando lo simple que es, es sorprendentemente preciso, especialmente para la conducción metálica simple que estás describiendo. Echa un vistazo, por ejemplo, a este artículo. La conductividad del oro está extraordinariamente descrita por el modelo de Drude desde corriente continua hasta frecuencias ópticas. El modelo de Drude no está más desactualizado e incorrecto que $F=ma$. Cuando es relevante, funciona (y lo mismo se puede decir de cualquier teoría establecida). De hecho, es una característica notable de la física del estado sólido que medios tan complejos como los cristales de átomos con jillones de partículas cargadas interactuando generalmente solo actúan según Drude.

Entonces volviendo a tu pregunta, inferiría que estás buscando una respuesta en el nivel de abstracción de los electrones de Bloch y la teoría de bandas. Entonces, digamos que los electrones se mueven a la velocidad de Fermi hasta que chocan con algo, lo cual sucede en promedio con la misma frecuencia que es consistente con el tiempo fenomenológico de dispersión de Drude (decenas de femtosegundos para metales). Pero recuerda que cuando hablamos de electrones de Bloch, ya no estamos realmente hablando de pequeñas bolas de materia que vuelan alrededor; los electrones ahora son ondas, con velocidades de fase y grupo. Las peculiaridades de la física de ondas están ahora todas sobre la mesa. Por ejemplo, en la parte superior de la banda de valencia de un semiconductor, la masa efectiva del electrón es negativa. Entonces, ¿qué significa eso para nuestra intuición clásica de observables como la velocidad?

Lo que significa es que cada cantidad medida y calculada necesita ser interpretada en el contexto del modelo relevante.

Answer 3

El efecto Hall mide la velocidad de deriva, esencialmente equilibrando la fuerza de Lorentz $q\ \vec{v}_{drift} \times \vec{B}$. Esa velocidad a menudo es tan grande como uno esperaría al medir la corriente y conocer la densidad y signo de los portadores de carga, por ejemplo en semiconductores dopados.

En metales simples, es consistente con el número de electrones de valencia por átomo. Es consistente con la interpretación de que todos los electrones de valencia participan en la conducción.

Answer 4

En un sólido, la estructura electrónica se describe mediante bandas de energía $E_{n\mathbf{k}}$, donde n es un número cuántico que etiqueta la banda, y $\mathbf{k}$ es el valor propio del momento. Para un electrón que reside en esa banda de energía, la velocidad sería $v_\mathbf{k}=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E_{n\mathbf{k}}}{\partial\mathbf{k}}. Dependiendo del tipo de estructura de banda, la forma funcional de esta velocidad puede decirnos cómo se comportaría el sólido. Por ejemplo, un conductor con una dispersión de banda cuadrática $E_\mathbf{k}\sim k^2$ sería descrito bastante bien por el modelo de Drude. Por otro lado, si el conductor es como el grafeno, y tiene una dispersión de Dirac, $E_\mathbf{k}\sim k$, entonces se debe aplicar un modelo diferente para entender su comportamiento bajo un potencial aplicado.

La velocidad de deriva tiene sentido como una cantidad estadística. Para calcularla, se necesita sumar las velocidades $v_\mathbf{k}$ para todos los estados de momento ocupados hasta el nivel de Fermi. Resulta que solo los estados entre $E_F$ y $E_F+V$ donde $V$ es el potencial aplicado, transportan corriente. Las contribuciones de los otros estados en el mar de Fermi se cancelan.

La velocidad de Fermi es diferente para diferentes bandas que intersectan el nivel de Fermi. En el modelo de Drude, donde se sugiere que tienes una sola banda con una dispersión $E_\mathbf{k}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$, donde $m^*$ es la masa efectiva, la velocidad de Fermi es simplemente $v_F=\sqrt{2m^*E_F}$, donde $E_F$ es la energía de Fermi. La energía de Fermi suele obtenerse conociendo la densidad electrónica, como se explica en el libro de Mermin y Ashcroft. Pero, en sólidos, puede haber más bandas ocupadas.

El ejemplo más simple es cuando hay un campo magnético presente e induce división de espín. Supongamos que esta división de Zeeman es $-B\sigma_z$, donde B es proporcional al campo magnético, y $\sigma_z$ es la matriz de Pauli. En ese caso, $E_\mathbf{k}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}\pm B$. La velocidad de Fermi es $v_F=\sqrt{2m^*(E_F\pm B)}$, donde el signo "+" es para la banda de espín "arriba" y el signo "-" es para la banda de espín "abajo".

Edición en respuesta al comentario. Para calcular la velocidad de cualquier partícula en la mecánica cuántica, uno parte de $\mathbf{v}=\frac{1}{i\hbar}\left[\mathbf{x},H\right]$, donde $H$ es el hamiltoniano, y los corchetes cuadrados denotan un conmutador. Si la partícula está en un cierto estado, tal vez $\left| \Psi \right>=\left| n\mathbf{k} \right>$, debes tomar el valor esperado de ese operador y luego estás listo.

La verdad es que tus electrones están en un estado de muchos cuerpos $\left| \mathbf{k}_1 \right> \left|\mathbf{k}_2 \right> \dots \left| \mathbf{k}_N \right>$, donde $\mathbf{k}_i$ son todos los momentos posibles hasta el nivel de Fermi, y $N$ es el número de electrones en el sólido. El operador de velocidad es un operador de muchos cuerpos. Si tu sólido se modela como un gas de electrones de cuasipartículas no interactuantes, este operador es diagonal en el espacio de partículas, por lo que cada partícula sentada en un estado $\left| \mathbf{k}_i \right>$ tendrá una velocidad correspondiente $\mathbf{v}_i=\frac{\hbar\mathbf{k}_i}{2m}$.

Decir que los electrones en el sólido deberían tener esas velocidades no es del todo preciso. Si se inyecta en el sólido un electrón, este electrón no pertenecerá al mar de Fermi. Se puede inyectar una partícula que se parezca a un paquete de ondas gaussiano $\left| \Psi \right>$ y su energía será $E=\left<\Psi |H|\Psi\right>$ y la velocidad se calculará como se indicó anteriormente $\mathbf{v}=\frac{1}{ih}\left< \Psi|\left[\mathbf{x},H\right]|\Psi\right>$. Si estamos en la respuesta lineal, es decir, aplicamos un pequeño campo eléctrico en nuestro cristal que induce una corriente, este electrón será inyectado en uno de los estados por encima del nivel de Fermi, por lo que su velocidad estará cerca de $v_F$.

Answer 5

Como no soy un experto en quantum, podría estar completamente equivocado (pasa), pero no veo ninguna razón para pensar que el concepto de velocidad de los electrones no tiene sentido. El momento es una cantidad vectorial cuántica, y sí, los electrones en un metal están delocalizados, pero sigue siendo cierto que el promedio del momento de los electrones debería estar sujeto a aceleración por un campo eléctrico. Y si hay un vector de momento promedio, entonces hay un vector de velocidad promedio.

Además, considera algo como la emisión de cátodos en un tubo de vacío. Una vez que se emiten, tenemos sus electrones independientes en un vacío, básicamente. Pero tenemos que obedecer la conservación (de momento, de masa, de carga) en el punto de la emisión, ¿verdad? Entonces, si el momento promedio, la velocidad y la tasa de flujo de masa existen en un lado de la ecuación, deben corresponder a algo en el otro lado.