Razón Subyacente Para Tomar El Logaritmo Base 10

Question

Para la ecuación de $2^x = 7$

El libro de texto dice de registro en la base de diez a resolver esta $\log 2^x = \log 7$.

Yo, a continuación, volver a organizar lo que se lee $x \log 2 = \log 7$ a continuación, divida la RHS por $\log 2$ a aislar el $x$. Entiendo esta parte.

Yo como alternativa, se puede resolver de una manera más fácil por el simple uso de $\log_2 7$ en mi calculadora.

El uso de ambos métodos, la respuesta viene a la misma que es $2.807$

Mi pregunta es doble:

1. ¿Por qué el libro de texto sugieren el uso de registro de la base de diez en lugar de simplemente utilizar logaritmo base dos?

2. Puedo ver cómo el uso de registro de la base de diez y el método sugerido en el libro de texto me hace llegar a la misma respuesta, pero no entiendo por QUÉ esto es así. ¿Cómo funciona la base de diez juegan un factor en todo ámbito de cosas.

Gracias

Answer 1

Esto funciona en cualquier base debido a $\log_b (a^c) = c \log_b(a)$

La razón práctica para el uso de la base de $10$ estaba un poco pasado de moda: se permite el uso de tablas de logaritmos en lugar de una calculadora y de la reducción de estos cálculos para la suma y la resta. Calculadoras, a continuación, proporciona una $\log_{10}$ funcionar como un legado de las tablas y se llama simplemente el botón de registro

Mi 1953 primaria tablas estadísticas que tienen los logaritmos de los números de $1$ $10$y anti-logaritmos de los números de$0$$1$. Ya que estos son los logaritmos de base $10$, que fácilmente se puede tratar con todos los números, porque $\log(a \times 10^n)=n +\log(a)$

Aquí quiero $\dfrac{\log 7}{\log 2}$.

• Mis tablas de tell me $\log 7\approx 0.8451_6$ (${\,}_6$ayudando interpolación) y $\log 2\approx 0.3010_{22}$. Por lo que me deja con tratando de calcular $\dfrac{0.8451}{0.3010}$. No puedo ser molestado en hacer una división larga, así que en lugar de intentar calcular el $\text{antilog}\,({\log 0.8451 -\log 0.3010})$.

• Mis tablas de tell me $\log 8.45 \approx 0.9269_5$, por lo que escribo $\log 0.8451 \approx \bar{1}.9269$ ($\bar{1}$ porque quise $\log (8.451\times 10^{-1})= -1+\log 8.451$). Del mismo modo me dice $\log 3.01 \approx 0.4786_{14}$, por lo que escribo $\log 0.3010 \approx \bar{1}.4786$

• Ahora me calcular a mano $\bar{1}.9269 - \bar{1}.4786 = 0.4483$. Mis tablas de tell me $\text{antilog}\,0.448 \approx 2.805_7$ y me permito el final de la $3$${\,}_7$, para dar un último aproximado de respuesta de $2.807$. Que es lo que tienes con algunas inteligente de silicio

Answer 2

Pregunta 1) Como se puede ver, tanto el método de llegar a la misma respuesta, sin embargo, $\log$ base 10 es una elección natural, como se indica en el comentario por Matti P arriba.

Pregunta 2) es porque para $a>0,a\neq 1,b>0, c>0, c\neq 1$,$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$In particular in your example, $c=10$, por lo tanto el método llega a la misma respuesta. La fórmula que se conoce como el cambio de base de la fórmula, ver aquí.

Answer 3

Funciones logarítmicas disfrutar de muchas propiedades.

Uno de los muy interesante las propiedades de los logaritmos es la fórmula llamada cambio de base de la fórmula.

$$ \log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a} $$

Por ejemplo, $$ \log_2 7 = \frac {\log_{10} 7}{\log_{10} 2} $$

Esta fórmula hace que la búsqueda de los logaritmos en cualquier base posible mediante el uso de sólo los logaritmos de base $10$ o logaritmos naturales.

Answer 4

Como otros han dicho, la fórmula funciona para un logaritmo en cualquier base, debido al cambio de base de la fórmula. Sin embargo, la aceptación de la respuesta, dice, "La razón práctica para el uso de la base 10 era un poco anticuada: se permite el uso de tablas de logaritmos en lugar de una calculadora y de la reducción de estos cálculos para la suma y la resta." Esto plantea la pregunta, ¿por qué los uso de tablas de base 10? Después de todo, acabamos de explicar que los mismos trucos de trabajo para cualquier base. Si usted sólo necesita elegir una base para compilar una tabla de impresión y como un libro, o marca en una regla de cálculo, no de los menos arbitraria elección han sido e?

La respuesta detrás de la respuesta es que en base 10 logaritmos son los más fáciles para los seres humanos, sin calculadoras y se utiliza para los números decimales para trabajar con. El logaritmo de 1 es 0, el registro de 10 es 1, el logaritmo de 100 es 2, y así sucesivamente, por lo que cualquier número de un dígito tiene un registro de punto cero algo, cualquier número de dos dígitos tiene un registro de un punto de algo, y así sucesivamente. Por lo tanto, sin una calculadora, ¿qué es el registro de 300? Bueno, registro de 300 log 3·100, que es log 3 + log 100. La raíz cuadrada de 10, es un poco más de 3, por lo que log 3 es un poco menor que 0.5, y registro de 100 es exactamente 2, por lo que intuitivamente es un poco menos de 2.5. Que hace que sea muy fácil encontrar el logaritmo de cualquier número en notación científica, o mover el punto decimal a la izquierda o a la derecha.

Si has hecho un montón de estos, que los ingenieros de una vez tuve que hacerlo, te gustaría obtener rápidamente un sentido intuitivo. Y haciendo este tipo de problemas con base 10 le permite utilizar ese sentido de los números para la captura de errores tontos: "No, eso no puede ser correcto, es algo mil, por lo que el registro tiene que ser de tres punto algo".

Answer 5

El uso de Log en base 10 es una elección muy común y a menudo la encontramos en las calculadoras ya que nuestro sistema estándar de contar es en base 10 (es decir, el número de dedos).

Para manejar algebraica de problemas de cualquier otra opción es buena dependiendo del problema específico a resolver, por logarítmica identidades.

Para la aplicación en el cálculo, la mejor opción es el logaritmo natural en base e.