¿Cómo interpreto mi informe?

Question

No entiendo la fórmula:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$$

He tratado de leer todo tipo de páginas web y respuestas sobre el tema, pero no hacer clic con mí. No entiendo cómo podemos definir las cosas cuando estas ya son cantidades conocidas. Ya tenemos una definición exacta para$e$$\lim_{n \to 0} (1+\frac{1}{n})^n$, y tenemos $i = \sqrt{-1}$, y tenemos $\cos$ $\sin$ $x$ $y$ coordenadas de dónde derecho triángulos se encuentran en el círculo unidad.

Así que no entiendo cómo la obtenemos a partir de esas cifras a la fórmula de Euler. Yo también no entiendo por qué los números complejos son de la forma$a + bi$, por lo que podría tener algo que ver con ella. Tengo un tiempo difícil separar lo que las identidades son "emergentes" de la anterior, las matemáticas y que las piezas son "por definición" y por qué son definidos de esa manera. Yo no entiendo por qué hemos de empezar a hablar de "rotaciones", como si es obvio que lo que está ocurriendo. Ni siquiera sé por qué $e$ está involucrado en nada de esto, para empezar.

Es $e^{ix}$ simplemente ser escrito en la poco reorganizado de forma compleja $a + ib$ donde$a = \cos(x)$$b = \sin(x)$? Es que esto se interpreta como $\cos(x)$ $x$- coordinar y de alguna manera $i \sin(x)$ $y$ coordinar?

Answer 1

Me gusta pensar de la fórmula de Euler como una expresión algebraica resultado que puede entonces ser interpretado geométricamente. El hecho de que el poder de la serie para $e^{ix}$, $\cos{x}$ y $\sin{x}$ partido que ya se ha mencionado. Aquí es (espero) algunas de las pruebas más concluyentes:

1. si $f(x)=e^{ix}$ y $g(x)=\cos{x}+i\sin{x}$, $f(0)=1$ y $g(0)=1$.
2. $f'(x)=if(x)$ $g'(x)=ig(x)$ . (Esto es bastante fácil de comprobar). Desde $f$ $g$ son tanto diferenciable en todas partes, tienen el mismo valor en $x=0$ y son las soluciones a la misma de primer orden de la ecuación diferencial lineal, deben ser de la misma función.

Esa es una forma de ver las cosas, pero adolece de tener que conocer acerca de la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales.

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Otra forma de ver esto de manera algebraica está utilizando identidades trigonométricas:

• $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}$, o, equivalentemente, $f(a+b)=f(a)f(b)$

Podemos mostrar que $g(x)$ tiene la misma propiedad por el uso de las identidades $\cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}$, y
$\sin{(a+b)}=\sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}$.

• $g(a+b)=\cos{(a+b)}+i\sin{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}+i\sin{a}\cos{b}+i\cos{a}\sin{b}$
• $g(a)g(b)=\left(\cos{a}+i\sin{a}\right)\left(\cos{b}+i\sin{b}\right)$,

Si multiplicamos esto se convierte en la misma cosa como $g(a+b)$.

Usted puede probar esto con cualquier conjunto de identidades trigonométricas que te gusta, y siempre que se $f$ $g$ tienen las mismas propiedades.

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Si usted compra todos los algebraicas evidencia de que $e^{ix}$ $\cos{x}+i\sin{x}$ son en realidad la misma cosa, entonces la interpretación geométrica cae de forma gratuita.

• $\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ es un punto en el círculo unitario en el plano complejo, en una $\theta$ en sentido antihorario desde el eje real positivo.
• Por la identidad de Euler, $e^{i\theta}$ es exactamente lo mismo, y puede ser interpretado de la misma manera exacta.

Answer 2

Identidad de Euler

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

se relaciona con la siguiente interpretación geométrica

y puede ser probada por serie

$$\begin{align} e^{i\theta} &{}= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \[8pt] &{}= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \[8pt] &{}= \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( \theta- \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \[8pt] &{}= \cos \theta + i\sin \theta . \end{align} $$

Answer 3

Tal vez esto no es contestar tu pregunta, pero recuerdo leer que Euler descubrió algunos de la conexión entre $e$y $i$ a través de esta integral:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{2}$$

También podemos escribir $\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2i}\left (\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\right )$. Esto da: $$\frac{1}{2i}\int{0}^{\infty}\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}dx=\left [\frac{1}{2i}\ln\left (\frac{x-i}{x+i}\right)\right ]^{\infty}{0}=\frac{1}{2i}\ln(-1)=\frac{\pi}{2}$$ So $\ln(-1) = \pi i $, or $% $ $e^{\pi i}=-1$

Answer 4

$e^{i\theta}$ es aproximadamente $\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n$ para valores grandes de n.

El % de número complejo $(1+\frac{i\theta}{n})$tiene un radio de cerca de $1$ y un ángulo de cerca de $\frac{\theta}{n}$. Como multiplicar números complejos multiplica los radios y agrega los ángulos, $\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n$ debe tener un radio de alrededor de $1$ y un ángulo de alrededor de $i\theta$. En otras palabras, debe ser muy cerca de $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

Todo esto se puede hacer riguroso, pero esto es lo que pienso moralmente.

Answer 5

Voy a intentar responder a esta:

No veo por qué cualquier cosa que involucre números imaginarios es una cuestión de la trigonometría.

¿Qué es $\sin\theta$$\cos\theta$? Hemos aprendido que, para un triángulo rectángulo, uno debe tener:

$$\sin \theta = \frac{opposite}{hypothenuse} \quad \quad \cos \theta=\frac{adjacent}{hypothenuse}$$

Aquí viene una pregunta interesante: ¿$\sin\theta, \cos\theta$ depende sólo del ángulo del triángulo o no depende de las longitudes de los lados del triángulo? La respuesta es que depende sólo del ángulo de $\theta$ (żpor qué?). Esto tiene el siguiente significado: I puede simplificar las cosas un poco justo de tomar todos los triángulos con $hypothenuse=1$ cuales son similares a los del triángulo yo soy la medición de $\sin\theta, \cos\theta$ originalmente, y luego voy a conseguir:

$$\sin \theta = \frac{opposite'}{1}= opposite' \quad \quad \cos \theta=\frac{adjacent'}{1}=adjacent'$$

Ahora, si traducimos este triángulo al origen, tendremos:

Ahora sabemos lo que es$\sin \theta$$\cos \theta$. Las coordenadas del punto de $X$ debe $(\cos \theta, \sin \theta)$. Ahora, estamos utilizando una idea: Hay una "base" y estamos expresando puntos como múltiplos de los elementos de esta base. Esto significa que:

$$X=(\cos \theta, \sin \theta)= \cos \theta (1,0) + \sin \theta (0,1)$$

¿Qué es esta "base"? Se trata de un conjunto con elementos que no pueden ser construidos con cualquier combinación de los otros elementos. Mira la figura, de forma intuitiva, usted no puede llegar a ese punto, sólo caminar hacia arriba, usted necesita ser capaz de caminar a la derecha también. Esto significa que usted no puede ir a la derecha para caminar a la parte superior y viceversa. Si quiero llegar a ese punto, necesito caminar a $\cos \theta$ hacia arriba y, a continuación, $\sin \theta$ a la derecha. Cada elemento de la base no se pueden construir con el otro, esto se llama "independencia lineal". No es esto similar a los números complejos? Un número complejo es un número de la forma:

$$z=a+bi$$

En la que usted no puede conseguir a $a$ multiplicando $i$ por algún número real y viceversa. Esto significa que también tenemos una base aquí, sólo tenemos que cambiar $(1,0)$$1$$(0,1)$$i$:

$$X=\cos \theta (1,0) + \sin \theta (0,1)=\cos \theta (1) + \sin \theta (i)=\cos \theta + i \sin\theta $$

Obviamente, no es tan simple como eso: también debemos mostrar que la geometría hecho con los múltiplos de $\{(1,0),(0,1)\}$ es el mismo de la geometría hecho con los múltiplos de $\{1,i\}$, como resulta, suelen definirse a ser muy estrechamente relacionados. Podríamos haber hecho lo mismo con polinomios de grado $\leq1$ demasiado, por ejemplo:

$$X=\cos \theta (1) + \sin \theta (x)=\cos \theta + i \sin\theta x$$

Pero el caso más interesante sería el caso en que estos polinomios puede dar una geometría bastante similares a los de las geometrías de los otros casos que he mencionado. ¿Por qué fueron a una geometría de múltiplos de $\{(1,0),(0,1)\}$ a una geometría de múltiplos de $\{1,i\}$? Porque los números complejos tienen un montón de agradable propiedades que - quizás - no podría haber derivado de la otra manera alrededor. Si podemos "traducir" la geometría de una base a otra, que la ganancia de cada propiedad interesante que tienen y también, usted puede encontrar una traducción de esta agradable propiedad con el sistema anterior, que estaba trabajando! Ahora pregúntate a ti mismo: ¿Qué propiedades se han obtenido a partir de esa "traducción"?