Hay algo en entre la ley de los grandes números y CLT?

Question

Supongamos que tenemos las variables aleatorias $X_1, X_2, \dots$, que se yo.yo.d., en $L^2$ y tales que $\mathrm{E}[X_i]=0$, $\mathrm{Var}[X_i] = 1$, decir. Deje $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Es bien sabido que en este caso, tenemos los siguientes teoremas de convergencia:

Ley de los grandes números: $\frac{S_n}n \to 0$ casi seguramente.

Teorema del límite Central: $\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ converge a una $\sim \mathcal N(0,1)$ variable aleatoria de distribución.

Hace nada interesante suceder, si queremos normalizar $S_n$ diferente? Por ejemplo, es posible normalizar en una manera de obtener la convergencia de $\frac{S_n}{c_n}$ a un no-constante variable aleatoria (con $\sqrt{n} \ll c_n\ll n$, me imagino) o algo por el estilo?

Esto en realidad es sólo un pensamiento al azar... Si no es una de las razones fundamentales por las que realmente se preocupan sólo por los dos normalizaciones, entonces yo sería feliz de saber cuáles son las razones (aparte del hecho de que estas normalizaciones son particularmente natural).

Answer 1

También existe la ley del logaritmo iterado, por el que $$ \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{\sqrt{2n \log \log n}} = 1 $$

casi seguramente. También, casi seguramente,

$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{\sqrt{2n \log \log n}} = -1 $$

Answer 2

Los más débiles modo de convergencia, la convergencia en ley. Por eso queremos una secuencia $c_n$ tal que $S_n/c_n$ converge en ley a un no-constante de la variable aleatoria. Utilizando la característica de las funciones, podemos ver que ello implica que la secuencia de $n\cdot\log\left(1-\frac 1{c_n^2}\right)$ converge, y desde $c_n\geqslant \sqrt n$, debemos tener la $\frac n{c_n^2}$ converge, por lo $\{c_n\}$ se comporta como $\sqrt n$.