Cómo encontrar la base para la intersección de dos espacios vectoriales

Question

¿Cuál es la manera de encontrar la base para la intersección de dos espacios vectoriales?

Supongamos que me dan las bases de dos espacios vectoriales U y W: $$ \mathrm{Base}(U)= \left\{ \left(1,1,0,-1\right), \left(0,1,3,1\right) \right\} $$ $$ \mathrm{Base}(W) =\left\{ \left(0,-1,-2,1\right), \left(1,2,2,-2\right) \right\} $$

Ya he calculado U+W, y la dimensión es 3 el significado de la dimensión de la $ U \cap W $ es 1.

La respuesta es supuestamente obvio, un vector es la base de la $ U \bigcap W $ pero, ¿cómo puedo calcular?

Answer 1

Suponga $\textbf{v} \in U \cap W$. A continuación,$\textbf{v} = a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)$$\textbf{v} = x(0,-1,-2,1)+y(1,2,2,-2)$.

Desde $\textbf{v}-\textbf{v}=0$,$a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)-x(0,-1,-2,1)-y(1,2,2,-2)=0$. Si resolvemos para$a, b, x$$y$, obtenemos la solución de la $x=1$, $y=1$, $a=1$, $b=0$.

por lo $\textbf{v}=(1,1,0,-1)$

Usted puede validar el resultado, simplemente agregando $(0,-1,-2,1)$ $(1,2,2,-2)$

Answer 2

Parametrizar ambos espacios vectoriales (utilizando distintas variables!) y el conjunto de ellos igual a la otra. Entonces usted va a obtener un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas, que se puede resolver. Sus soluciones serán en ambos espacios vectoriales.

Answer 3

Se trata de una en una dimensión espacio vectorial, por lo que encontrar un no-cero vector que está en ambos espacios, y que será una base.