Generalizar logarítmica coincidencias

Question

Después de jugar un poco con los logaritmos, he encontrado los siguientes coincidencias:

$\log_{10}{2} \approx 0.3$, ya que el $2^{10} \approx 10^3$, e $\log_{10}{5} \approx 0.7$, ya que el $5^{1000} \approx 10^{700}$.

Estoy seguro de que estos son bien conocidos. Me preguntaba si había un método o algoritmo de generalizar estas "coincidencias" a cualquier base o número. Sólo tengo un conocimiento básico de la teoría de los números y me gustaría aprender más.

Answer 1

Por ejemplo: para$2^b\approx 3^d$,$\frac{b}{d}\approx\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$. Así podemos encontrar un racional approximant (mediante fracciones continuas?) para $\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$, dicen $$\displaystyle{{{\frac{268167867796283}{169195086744492}}}}$$ and $$2^{268167867796283}\approx 3^{169195086744492}$$ and $$\log_2(3)\approx\frac{268167867796283}{169195086744492}$$