$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2}$ sin L'Hôpital

Question

Alguien me puede ayudar a encontrar el siguiente límite sin usar L'Hôpital ? $$\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2}\right)$$

Answer 1

Sugerencia: $$e^{2x} = 1 + 2x + \dfrac{(2x)^2}{2!} + o(x^2).$$

Answer 2

Si usted quiere evitar el uso de la serie de Taylor o el de Lagrange/Cauchy teorema, también, usted puede ir de nuevo a la definición de la función exponencial, y recordar que $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, con $$ a_n = \left(1+\frac{2x}{n}\right)^n $$ es un aumento de la secuencia (lentamente) convergiendo hacia la $e^{2x}$. Así que tomando $x$ lo suficientemente cercano a cero ($|x|<1$) y $n$ suficientemente grande ($n\geq 3$), en virtud del teorema del binomio, se tiene: $$ e^{2x}-1-2x = \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}\frac{(2x)^k}{n^k} = 2\frac{n-1}{n}x^2+\sum_{k=3}^{n}\binom{n}{k}\frac{(2x)^k}{n^k},$$ y: $$\left|\sum_{k=3}^{n}\binom{n}{k}\frac{(2x)^k}{n^k}\right|\leq\sum_{k=3}^{n}\frac{(2|x|)^k}{k!}\leq (e^2-5)|x|^3\leq\frac{5}{2}|x|^3,$$ por lo que el límite es claramente $2$.

Answer 3

este es mi tratar de ayudarle a encontrar el siguiente límite sin usar L'Hôpital