Es esta función medible en $\mathbb{R}$. Métodos generales?

Question

Estoy tratando de mostrar la función de $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido por

$f(x) = \frac{1}{[x (\log(x))^2]}$ $x\in (0,\frac{1}{2})$ $0$ lo contrario

es medible.

Existen métodos generales que podemos utilizar? Entiendo que el subyacente $\sigma$-álgebras de $\mathbb{R}$ son importantes. ¿Alguien de mente hablando más para que?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Por supuesto, el $\sigma$-álgebra ponemos en $\mathbb{R}$ es de importancia cuando se habla de mensurabilidad. Si $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ dos $\sigma$-campos en $\mathbb{R}$, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es $(\mathcal{E}$,$\mathcal{F})$-medibles (o corto medibles) si $$ f^{-1}(A)\in\mathcal{E},\quad \text{para todo }\in\mathcal{F}. $$ Si dejamos $\mathcal{F}$ ser el trivial $\sigma$-campo, es decir, $\mathcal{F}=\{\emptyset,\mathbb{R}\}$ y deje $\mathcal{E}$ cualquier $\sigma$-campo, luego de cada función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es medible (por qué?).

El más común de los $\sigma$-de campo para poner en $\mathbb{R}$ es el Borel $\sigma$-campo denotado por $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Esto tiene muchas caracterizaciones. He aquí unos cuantos:

• $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(\{A\subseteq \mathbb{R}\mid A\text{ is open}\})$,
• $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},\;a<b\})$,
• $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(\{(-\infty,b)\mid b\in\mathbb{R}\})$,
• $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{Q},\;a<b\})$.

Si queremos demostrar que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$- medible, entonces nos pudo comprobar que $f^{-1}(A)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ todos los $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (o simplemente para todos los $A$ en cualquiera de los anteriores generadores). Esta es, sin embargo, a menudo imposibles de realizar en la práctica, así que tenemos que confiar en los resultados de medición.

Aquí están algunos de los resultados más importantes:

Cada función continua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$medible

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Si $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$medible de las funciones, la composición $f\circ g$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$- medible.

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Si $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$medible de las funciones, luego $$ c\cdot f, \; f+g, \; f\cdot g,\; f\wedge g,\; f\vee g $$ son, de nuevo, $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$medible de funciones (por cada $c\in\mathbb{R}$).

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Si $(f_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia de $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$medible de las funciones, luego $$ C=\{x\in\mathbb{R}\mid \lim_{n\to\infty}f_n(x)\text{ existe en }\mathbb{R}\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) $$ y la función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $$ f(x)= \begin{cases} \lim_{n\to\infty}f_n(x),\quad &\text{if }x\in C,\\ 0,& \text{if }x\in \mathbb{R}\setminus C, \end{casos} $$ es de nuevo $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-medible.

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Si $A_1,\ldots,A_k$ son distintos conjuntos de Borel en $\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{R}=\bigcup_{i=1}^n A_i=\mathbb{R}$ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ está dado por $$ f(x)= \begin{cases} f_1(x),\quad &x\in A_1,\\ f_2(x),\quad &x\in A_2,\\ \;\;\vdots \\ f_n(x),\quad &x\in A_n, \end{casos} $$ donde $f_j:A_j\to\mathbb{R}$ son continuas. A continuación, $f$ $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$- medible.

Con estos en la mano, usted debe ser capaz de demostrar que su función es $(\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-medible. También tenga en cuenta que estos resultados se pueden generalizar mucho, es decir, cuando se $f:X\to\mathbb{R}^d$ por ejemplo, donde $X$ es cualquier conjunto equipado con un $\sigma$-campo.