Problema del concurso de teoría de números

Question

Dado que $x, y$ son enteros positivos con $x(x + 1)\mid y(y + 1)$ pero tampoco $x$ ni $x + 1$ divide cualquiera de $y$ ou $y + 1$ y $x^2+ y^2$ lo más pequeño posible, encontrar $x^2+ y^2$ .

He probado a mirar los valores, y parece que ni $x$ ou $x+1$ o el $y$ son de primera.

Answer 1

Sí, no queremos $x$ ou $x+1$ para ser una potencia principal. El primer candidato es $x=14$ . Entonces $y=20$ funciona.

Añadido: Supongamos que encontramos enteros consecutivos compuestos $x$ et $x+1$ ninguna de las cuales es una potencia principal. Sea $x=ab$ et $y=cd$ , donde $a$ et $b$ son relativamente primos, al igual que $c$ et $d$ y ninguno es igual a $1$ . Consideremos el sistema de congruencias $y\equiv 0\pmod{ac}$ , $y=\equiv -1\pmod{bd}$ . Por el Teorema Chino del Resto, esto tiene solución. Nótese que $x$ no divide $y$ , para $b$ divide $y+1$ por lo que es relativamente primo a $y$ . Las demás "no divisibilidades" requeridas pueden verificarse de forma similar. Pero $x(x+1)$ divide $y(y+1)$ .