"¿Existen los números primos de Wilson dobles?"

Question

Cualquier número primo satisface $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$

Cualquier número primo de Wilson satisface $(p-1)! \equiv -1 \pmod {p^2}$ (Solo se conocen $5, 13, 563$, ampliamente se cree que son infinitos)

¿Es posible que existan "primes de Wilson dobles" - aquellos que satisfacen $(p-1)! \equiv -1 \pmod {p^3}$?

Y, en general, ¿existen primos que satisfacen $(p-1)! \equiv -1 \pmod {p^n}$?

Answer 1

Es posible que existan tales primos dobles de Wilson, pero no se conoce ningún ejemplo y es poco probable que no exista ninguno, sin embargo, probar esto es probablemente casi imposible.

Para ver por qué este es el caso, recordemos la heurística para la infinitud de los primos de Wilson. Sea $w_p = ((p-1)! +1)/p$. Este es un entero, grande en relación con $p$. Hay $p$ posibilidades para el valor de $w_p$ módulo $p$ y se puede asumir que todos son más o menos "igualmente probables" de ocurrir. Si $w_p=0$ módulo $p$ entonces hemos encontrado un primo de Wilson.

Por lo tanto, esperamos que la probabilidad de que $p$ sea un primo de Wilson sea de $1/p$. Ahora, $\sum_{p \le x} 1/p$ donde la suma es solo sobre los primos diverge, pero lentamente, aproximadamente como $\log \log x$.

Por lo tanto, esperamos aproximadamente $\log \log x$ primos de Wilson hasta tamaño $x$. Esto no es mucho, y en línea con el hecho de que solo hay muy pocos conocidos, pero aún así el número debería ser infinito.

Ahora, ¿qué pasa con los primos dobles de Wilson? Aquí, necesitamos que $w_p$ sea congruente a $0$ módulo $p^2$. Sin embargo, aquí hay $p^2$ posibilidades, por lo que esperamos que la probabilidad de que $p$ sea un primo doble de Wilson sea de $1/p^2$. Ahora, $\sum_{p } 1/p^2$ converge y por lo tanto esperamos que el número sea finito.

Dado que no hemos encontrado ninguno y siguiendo esa heurística el número esperado que aún falta por encontrar es realmente pequeño, aproximadamente $\sum_{p \ge N} 1/p^2$ donde $N$ es el valor hasta el cual se ha probado ya, podría no haber ninguno. Pero podría ser que eventualmente se encuentre alguno.

Probar algo aquí debería ser realmente difícil.