Encuentra los dos valores de $k$ para el cual $2x^3-9x^2+12x-k$ tiene una doble raíz real.

Question

Encuentra los dos valores de $k$ para el cual $2x^3-9x^2+12x-k$ tiene un doble raíz real.

He encontrado un método que consiste en equiparar $$2x^3-9x^2+12x-k=2(x-r)^2(x-c)$$

Expandiendo e igualando los coeficientes obtengo el sistema de ecuaciones: \begin {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b}{\b1} \space 2(c+2r) &=9 \\ 2r(2c+r) &=12 \\ -2r^2c&=k \\ \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b}{\b1}

Resolviendo esto he encontrado las soluciones $k=4,5$

Sin embargo, me gustaría saber si hay alguna solución más fácil que la una que ya he encontrado, o en general, si hay alguna otra solución a la problema.

Answer 1

Aquí hay una forma más fácil. Si su polinomio $P_k(x) = 2x^3-9x^2+12x-k$ tiene una doble raíz real $r$ Entonces $P_k'(r) = 0$ .

Para tal raíz, se obtiene $P_k'(r) = 6r^2-18r+12 = 0$ es decir. $r=1$ o $r=2$ .

Entonces resuelve $P_k(r)=0$ con respecto a $k$ . Más precisamente:

• Si $r=1$ se necesita $P_k(1)=5-k=0$ es decir. $k=5$ .
• Si $r=2$ uno tiene $P_k(2)=4-k=0$ es decir. $k=4$ .

Answer 2

Podrías encontrar un máximo (o mínimo) relativo de f(x) = 2x3-9x2+12x, considerando que es un derivado y eligiendo k en consecuencia. De esta manera no necesitas encontrar las raíces explícitamente.

Answer 3

Antecedentes teóricos.

En general, si $ \alpha $ es una raíz múltiple de polinomio $f(x)$ entonces podremos escribir: $$f(x)=(x- \alpha )^2g(x)$$

Tomando el derivado en ambos lados que encontramos: $$f' \left (x \right )= \left (x- \alpha\right ) \left [2g \left (x \right )+ \left (x- \alpha\right )g' \left (x \right ) \right ]$$

Evidentemente $f'( \alpha )=0$ así que $ \alpha $ parece ser una raíz de $f' \left (x \right )$ también.