Si un grupo contiene un subgrupo con el orden de cada uno de sus divisores, ¿es abeliano?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo que tenga un subgrupo de tamaño $d$ por cada $d$ que divide $|G|$ . Debe $G$ ser abeliano?

Se puede demostrar mediante una inducción completa que la inversa de la afirmación anterior es cierta, pero mi alg-fu está demasiado poco desarrollado para abordar el problema anterior.

Answer 1

No. Elija cualquier grupo no abeliano de orden $pq$ para $p < q$ primos distintos - tal grupo existe (y es único) si $p | q - 1$ (por ejemplo $21$ ). Los divisores del orden del grupo son que $1, p, q$ y $pq$ por el teorema de Cauchy, hay subgrupos de orden $p$ y $q$ ya que hay elementos de estos órdenes.

O bien, para ser explícito, $S_3$ es un grupo que satisface esto.

Answer 2

Consideremos el grupo de cuaterniones.

Answer 3

No, toma el grupo de cuaterniones $Q_8 = \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}$ por ejemplo. Tiene un subgrupo de orden 2, a saber $\{ \pm 1 \}$ tiene un subgrupo de orden 4, por ejemplo $\{ \pm i \}$ y por supuesto tiene un subgrupo de orden 1 y de orden 8.

Answer 4

La cuestión de Banarama es interesante y se refiere a la clase de grupos finitos conocida como Grupos CLT donde CLT significa Teorema de Lagrange inverso :

$G$ es un Grupo CLT si para cada entero positivo $d$ dividiendo $|G|$ , $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $d$ .

Estos grupos han sido ampliamente estudiados. Resulta, por ejemplo, que todos los supersoluble grupos son CLT, y todos los grupos CLT son solucionable . Véase también uno de los primeros papeles de Henry G. Bray, Pac. J. Math 27 (1968).

Answer 5

Grupos diédricos, o grupos de productos semidirectos de orden $p^3$