¿Estimar la covarianza de las medias de dos muestras?

Question

Sean dos muestras de tamaño $n$ , $x_i$ y $y_i$ de dos distribuciones normales diferentes.

¿Qué es la $\operatorname{cov}(\bar X_n, \bar Y_n)$ ? ¿Y cómo puede estimarse?

La motivación de mi pregunta es entender si hay una manera de saber si dos muestras emparejadas están correlacionadas de tal manera que sus expectativas "deberían" ser comparadas usando la prueba t emparejada.

Gracias.

Answer 1

\begin{eqnarray} \text{cov}(\bar X_n, \bar Y_n) &=& \text{cov}(1/n \sum X_i, 1/n \sum Y_j)\\ &=& 1/n^2 \cdot \text{cov}( \sum X_i, \sum Y_j)\\ &=& 1/n^2 \cdot \sum_i \sum_j \text{cov}( X_i, Y_j) \end{eqnarray}

Para ir más lejos, necesitamos especificar algo sobre las covarianzas. Si las muestras son muestras aleatorias iid donde $\text{cov}(X_i,Y_j)$ es constante para todos los $i,j$ :

\begin{eqnarray} \quad\quad &=& 1/n^2 \cdot n^2 \text{cov}( X, Y)\\ \quad\quad &=& \text{cov}( X, Y)\, . \end{eqnarray}

Si en cambio (y como parece ser el caso aquí) estamos hablando de datos emparejados, donde $X_i$ y $Y_j$ sólo están correlacionadas cuando $i=j$ entonces:

\begin{eqnarray} \quad\quad &=& 1/n^2 \cdot \sum_i \sum_j \text{cov}( X_i, Y_j)\\ \quad\quad &=& 1/n^2 \cdot n \cdot \text{cov}( X_i, Y_i)\\ \quad\quad &=& 1/n \cdot \text{cov}( X_i, Y_i)\\ \quad\quad &=& 1/n \cdot \rho\, \sigma_x \sigma_y, \end{eqnarray}

donde $\rho$ es la correlación entre $X$ y $Y$ pares.

Answer 2

He aquí una respuesta derivada de la teoría de los "momentos de momentos", utilizando la notación de la suma de potencias, y dejando el trabajo sucio a mathStatica. En particular, en notación de suma de potencias, dejemos:

$$s_{a,b}=\sum _{i=1}^n X_i^a Y_i^b$$

Entonces, $\operatorname{cov}(\bar X_n, \bar Y_n)$ = $\operatorname{cov}(\frac{s_{1,0}}{n}$ , $\frac{s_{0,1}}{n}$ ) ... y puesto que el operador de covarianza es sólo el {1,1} CentralMoment, la solución es:

donde $\mu_{1,1}$ denota el {1,1} momento central de la población ...

es decir La solución es:

$$\operatorname{cov}(\bar X_n, \bar Y_n) = \frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{n} $$

En caso de independencia, $\operatorname{cov}(X,Y)$ es, por supuesto, cero.