Cómo obtener las componentes del tensor métrico?

Question

En coordenadas dadas por $x^\mu = (ct,x,y,z)$ la línea es el elemento dado

$$ (ds)^2 = g_{00} (cdt)^2 + 2g_{0i}(cdt\;dx^i) + g_{ij}dx^idx^j, $$

donde el $g_{\mu\nu}$ son las componentes del tensor métrico y latina los índices de ejecución de $1$-$3$. En el primer post-Newtoniana aproximación al espacio de tiempo métrica está completamente determinada por dos potenciales de $w$$w^i$. El potencial Newtoniano está contenida dentro de $w$ y el relativista potencial contenida con $w^i$. Lo que no entiendo es:

A menudo en la literatura con relación a la primera Post-Newtoniana (PN) la aproximación, se acaba de citar, que los componentes del tensor métrico están dados por:

$$\begin{split}g_{00} &= -\exp(-2w/c^2), \\ g_{oi} &= -4w^i/c^3, \\ g_{ij}&= - \delta_{ij}\left( 1 +2w/c^2 \right).\end{split}$$

Debido al hecho de que a menudo son simplemente dados sin derivación, estoy suponiendo que me estoy perdiendo algo muy trivial aquí.

¿Cómo son estas métricas componentes derivados?

Answer 1

La sección IV.5.3 Post-Newtoniana aproximación de Introducción a la teoría General de la Relatividad, los Agujeros Negros, y la Cosmología, Y. Choquet-Bruhat describe una derivación de esa métrica. Parece que proceden de la L. Blanchet y T. Damour, 1989, Post-newtoniana de la generación de ondas gravitacionales.

El punto de partida son las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) en armónica coordenadas y sus 1PN expansión y el ansatz \begin{align} g_{00}\equiv&-\exp\left(-\frac{2}{c^2} V\right)\\ g_{0i}\equiv&-\frac{4}{c^3}V_i\\ g_{ij}\equiv&\exp\left(+\frac{2}{c^2} V\right)\gamma_{ij} \end{align} El uso de la EFE en la armónica de coordenadas se puede demostrar que en 1PN

$$\gamma_{ij}=\delta_{ij}+O(c^{-4}).$$

Además, uno puede encontrar lineal de ecuaciones que relacionen $V$ $V_i$ a la fuente términos: \begin{align} \Delta V -\frac{1}{c^2}\partial_t^2V&=-\frac{4\pi G}{c^2} \left(T^{00}+T^{ss}\right)\\ \Delta V_i&=-\frac{4\pi G}{c}T^{0i}. \end{align}

Para más detalles de los que participan en el cálculo recomiendo el libro de papel y de la que se hace referencia anteriormente y las referencias allí contenidas.

Answer 2

Personalmente yo no diría que le falta algo 'trivial' - tal vez el resultado es 'estándar' de alguna manera que se toma para concedido por personas que conocen el campo.

La referencia más antigua que contiene el resultado parece ser Blanchet, Luc, y Thibault Damour. "Post-Newtoniana de la generación de ondas gravitacionales." Annales de l''IHP Físico théorique. Vol. 50. Nº 4. 1989 (ver ecuaciones $2.10a.$ - $c.$ en el mismo).

La totalidad de la derivación es bastante complicado, pero el nivel de complejidad depende de lo que su punto de partida.

En los enlaces de papel el resultado se deriva por el campo cercano, donde el post-Newtoniana de expansión se supone válido (es decir,$v/c << 1$, y un débil campo gravitatorio). Esto les permite hacer una serie de supuestos, como que $\partial_0 g_{\mu\nu}^{in}/{\partial_i g_{\mu\nu}^{in}} = O(\frac{1}{c})$ donde $g_{\mu\nu}^{in}$ es la métrica en el interior del dominio donde esta más cerca de campo de expansión se utiliza.

Si partimos de la ecuación de Einstein, en armónica coordenadas, el siguiente conjunto de linearised ecuaciones pueden luego ser derivados de:

$\Box\ln(-g^{in}_{00}) = \frac{8\pi G}{c^4}(T^{00} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^6})$

$\Box g_{0i}^{in} = \frac{16\pi G}{c^4}T^{0i} + O(\frac{1}{c^5})$

$\Box g_{ij}^{in} = -\frac{8\pi G}{c^4}\delta_{ij}(T^{0i} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^4})$,

donde $\Box$ es el d'Alembertian (utilizando la mayoría de las $+$ métrica), y los diversos componentes de la energía-impulso tensor $T$ son de la conocida orden en $c$.

Para la comodidad de los autores, a continuación, definir

$\sigma = c^{-2}(T^{00} + T^{ss})$ y

$\sigma_i = c^{-1}T^{0i}$.

Este es un truco que les permite simplificar la forma de la resultante de las ecuaciones

Luego de definir ciertos potenciales (eq. $2.8$ $2.9$ ), a partir de la cual los resultados deseados seguir (junto con un número intermedio de saltos intuitivos para justificar los cálculos). Estos potenciales de sí mismos cumplan con ciertas ecuaciones lineales.

Espero que esto ayude, y pido disculpas por cualquier error. Creo que lo mejor sería leer los enlaces de papel. Es un poco complicada, y en un sentido, creo que el resultado que has publicado es sólo un posible parametrisation.