¿Prueba de comparación de secuencias?

Question

Deje $a_n, b_n$ tal que para suficientemente grande $n$: $ a_n \le b_n$.

Podemos deducir que:

1. $\lim_{n\to\infty}a_n = \infty \implies \lim_{n\to\infty}b_n = \infty$
2. $\lim_{n\to\infty}b_n = L \implies \lim_{n\to\infty}a_n = L$ donde $L < \infty$.

Por el camino,
Soy consciente de que el teorema del sándwich, aunque me preguntaba si "one-sided-squeeze" es válida, como se mencionó anteriormente.

Answer 1

Como otros han dicho, la implicación en 1. es correcto.

Por desgracia, sólo hay una cosa que se puede deducir de los supuestos de 2. Que es que si $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ existe, entonces sabemos que no es igual a $\infty$. Pero podría ser $- \infty$. Además, el límite podría no existir en absoluto. Aquí es un contraejemplo donde $a_{n} \leq b_{n}$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} = L$ algunos $L < \infty$, pero $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ no existe:

Deje $b_{n} = 2$ todos los $n$, e $a_{n} = (-1)^{n}$. Para todos $n$, $a_{n} \leq b_{n}$, y $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 2$ (donde claramente $2 < \infty$), pero $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ no existe.

Answer 2

La segunda afirmación es falsa como anorton y user46944 demostrado.

La primera es la verdadera. He aquí una prueba:

Suponga que $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=+\infty$.

Entonces, por la definición, se obtiene:

$\forall A>0,\,\exists N\in\mathbb{N},\,\forall n\in\mathbb{N},\, n>N\Longrightarrow a_n>A$

por lo suficientemente grande $n$: $a_n\le b_n$

Deje $N'\in\mathbb{N}$ como $\forall n\in\mathbb{N},\,n>N'\Longrightarrow a_n\le b_n$

Deje $A>0$. Por lo $\exists N\in\mathbb{N},\,\forall n\in\mathbb{N},\, n>N\Longrightarrow a_n>A$

Deje $N''=max(N,N')$. A continuación,$N''\ge N'$$N''\ge N$.

Por lo $\forall n\in\mathbb{N},\, n>N''\Longrightarrow (a_n\le b_n$ $a_n>A)\Longrightarrow b_n>A$

Llegamos a la conclusión de que:$$\forall A>0,\,\exists N''\in\mathbb{N},\,\forall n\in\mathbb{N},\, n>N''\Longrightarrow b_n>A$$ which proves that $\lim\limits_{n\+\infty}b_n=+\infty$.

Answer 3

Su primera implicación es la correcta, pero la segunda no lo es.

Para un contraejemplo a la afirmación de $2$, considere la posibilidad de $a_n = 1$$b_n = 2$. En este caso, $\lim_{n\to\infty} b_n = 2$, pero $\lim_{n\to\infty}a_n = 1 \ne 2$