Definición de función de la notación de conjunto-builder

Question

Sé que una función es un subconjunto $f \subseteq X \times Y$ tal que

\begin{eqnarray} \forall x \in X, \exists ! y \in Y | (x,y) \in f \end{eqnarray}

En primer lugar, es posible expresar lo que una función es usar el generador de la notación? Estoy pensando en

\begin{eqnarray} f = \{(x,y) | (x \in X) \wedge (\exists ! y \in Y) \wedge ((x,y) \in f)\} \end{eqnarray}

Es esto correcto? ¿La recursividad (me refiero al hecho de que $f$ es tanto en el lado izquierdo de la igualdad y la mano derecha) da ningun problema?

Otra cosa que se me ocurrió es la siguiente:

"Una función de $f$ es un miembro del conjunto

\begin{eqnarray} F = \{f | f \in (X \times Y) \wedge (\forall x \in X) \wedge (\exists ! y \in Y) \wedge ((x,y) \in f)\} \end{eqnarray}"

Este puede ser tomado como una definición de qué es una función?

Me puedes dar alguna referencia a un libro, sitio, etc. donde un conjunto generador de definición de ¿qué es una función?

Otra curiosidad que tengo es si esas definiciones me dio (si es correcto) tiene algo que ver con el orden superior de la lógica en lugar de la lógica de primer orden.

Gracias, Luca

PS. Este es mi primer post así que por favor sea amable :)

Answer 1

Sí, las funciones pueden ser definidas por medio de set-generador de notación. Pero este no es el enfoque más común.

Sin embargo, lo que usted ha escrito no está muy bien formado. Deja que me ocupe de este principio; entonces podemos terminar con una nota positiva.

Compare sus expresiones con su correcta contrapartes, así que usted puede evitar estos errores en el futuro (algunas cosas son comunes los abusos de la notación, pero yo sugiero que se ponga manos a la escritura de la tediosa tarea de forma completa hasta que usted puede reconocer una bien formada expresión dentro de un segundo):

$$\begin{array}{c|c} \forall x \in X, \exists! y \in Y|(x,y)\in f &\forall x \in X:\exists! y\in Y: (x,y) \in f\\ f= \{(x,y)|(x\in X)\land(\exists!y \in Y) \land ((x,y)\in f\} & f = \{(x,y) \mid \forall x \in X: \exists! y \in Y: (x,y)\in f\} \end{array}$$

y un problema similar surge con la expresión de $F$.

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Así, lo que se suele hacer es la siguiente. Deje $\rm fn$ ser el predicado unario dada por:

$$\mathrm{fn}(f) = \forall z \in f: (\exists x,y: z = (x,y)) \land (\forall z' \in f: x_z = x_{z'} \to z = z')$$

Que es: "$f$ es una colección de pares ordenados $z = (x_z, y_z)$, y cada una primera coordenada $x_z$ es único en $f$."

Tenga en cuenta que no hemos especificado el dominio o codominio de $f$ todavía. Podemos usar los siguientes predicados binarios:

\begin{align} \mathrm{dom}(f,X) &= \mathrm{fn}(f) \land \forall x: (x \in X\leftrightarrow \exists y: (x,y) \in f)\\ \mathrm{cod}(f,Y) &= \mathrm{fn}(f) \land \forall y: ((\exists x: (x,y) \in f) \to y \in Y) \end{align}

Entonces podemos definir el conjunto de funciones de $X$ a $Y$, $Y^X$, por:

$$Y^X = \{f \subseteq X \times Y\mid \mathrm{fn}(f) \land \mathrm{dom}(f,X) \land \mathrm{cod}(f,Y)\}$$

donde no es difícil mostrar que $f \subseteq X \times Y$ $\rm cod$ condición de una consecuencia de las otras dos.

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Todos los que se formulan en el primer orden lenguaje de la teoría de conjuntos, esto es un primer orden de definición. La delata es que no necesitamos para la cuantificación de más de predicados, etc..