Probar que el producto de algunos de los números entre los cuadrados perfectos es $2k^2$

Question

He aquí una pregunta que me ha llegado recientemente con:

Demostrar que para cada natural $x$, podemos encontrar un número arbitrario de números enteros en el intervalo de $[x^2,(x+1)^2]$ , de modo que su producto es en forma de $2k^2$.

He intentado varios métodos para probar esto, pero no de ellos realmente trabajado. Sé, por ejemplo, que los números primos no debería estar en el producto.
Yo también estaba buscando números de $x$, de modo que entre el $x^2$ $(x+1)^2$ no es en realidad el número de $2k^2$ naturales $k$. Si nos encontramos con todos estos números, a continuación, se debe probar el caso sólo para los números que no están en este formulario.
Estos $x$s tienen esta propiedad: $x^2<2k^2<(x+1)^2$$x<k\sqrt 2<x+1$$x\frac{\sqrt 2}{2}<k<(x+1)\frac{\sqrt 2}{2}$. Esto significa que no debe ser un número natural entre el$x\frac{\sqrt 2}{2}$$(x+1)\frac{\sqrt 2}{2}$.
He comprobado que algunos de los números que no son como que con el ordenador, y ellos fueron: $3,6,10,13,17,...$. la cosa que me di cuenta fue de que la diferencia entre dos números consecutivos de esa forma, es $3$ o $4$. Yo creo que esto tiene algo que ver con la representación binaria de $\frac{\sqrt 2}{2}$ pero no sé cómo conectar con ella. Agradecería cualquier ayuda :)

Answer 1

Este es un wiki de la comunidad de la respuesta al punto que la pregunta fue respondida en los comentarios por benh: Esta pregunta es un duplicado de este; el segundo, la pregunta fue respondida por Gerry Meyerson que encontró una prueba en este papel de Granville y Selfridge.