Cuando la definición de la semántica de los proposicional y, particularmente, de la lógica de primer orden, que siempre me ha hecho incómodo cuando se lee, por ejemplo: $$M \models A \lor B \quad\text{iff}\quad M \models A \text{ or } M \models B$$ De dónde viene la "o" en el lado derecho viene de? ¿Cuál es su definición?
Sé que se supone que es esto de la "meta" del lenguaje y, de alguna manera, que todos los matemáticos están de acuerdo en lo de que "o" se supone que significa eso. Usted podría incluso ser un poco más precavido, me apunte a una tabla de verdad, y decir: "Que! El uso que si no están seguros de lo que queremos decir". Bien.
Pero entonces, me sorprende aún más cuando he leído algo a lo largo de las líneas de $$M \models \forall x A \quad\text{iff}\quad M_x \models A \text{ for all $x$-variants $M_x$ of $M$}$$ ¿Cuál es el significado de este "para todos"?? La mayoría de nuestras intuiciones estaría de acuerdo en qué hacer si el dominio de $M$ es finito, comprobar todas las posibilidades, uno por uno; pero, ¿y si el dominio es un extraño infinito no recursivamente enumerable monstruoso conjunto, ¿cómo podemos saber si $M_x \models A$ es verdadera para todos los valores de $x$?
Un poco más al punto, ¿cómo podría discutir si $$\lnot\forall x A \rightarrow \exists x \lnot A$$ es válido o no? (desde una perspectiva puramente semántico punto de vista)
Parece que, al menos para mí, que el dado definiciones no son suficientes, ya que también tiene que especificar qué tipo de argumentos hacen los matemáticos aceptan en el "meta" del lenguaje (por ejemplo, es una prueba por contradicción válido para demostrar la existencia de elementos? o ¿significaba una constructivo/intuitionistic prueba?)
Actualización:
Ok, ahora estoy firmemente convencido de que la respuesta a mi pregunta original (es la definición de FOL semántica ambigua?) es: No. Todos sensible a los matemáticos deben estar de acuerdo en que la semántica bien definida.
En efecto, como Carl argumenta en su respuesta:
Dada la estructura M, y una propiedad que cada elemento de M puede o no puede tener, a cada elemento de M tiene la propiedad, o hay algún elemento que no tiene la propiedad
Es decir, la definición no hacer la suposición de que, con respecto al modelo, cada propiedad es verdadera o es falsa. Otras opciones No están permitidos. Ahora constructivista o incluso un paraconsistent matemático puede no estar de acuerdo en esta afirmación, y sugieren que las otras opciones deben ser considerados así. Y es por eso que pueden salirse con la de rechazar las cosas como la ley del medio excluido; no porque se crea que "o" debería significar algo diferente, sino porque son la fabricación de diferentes supuestos sobre la lógica de los sistemas.
Además, incluso en los que estaría de acuerdo en que si uno asume que la propiedad sólo puede ser verdadera o falsa, como FOL definición de los estados, entonces por un modelo de $M$ tenemos que cada elemento del dominio tiene la propiedad, o de algún elemento del dominio no tiene la propiedad. Fin de la historia. Y esta es la razón por la que podemos inequívocamente que $\lnot\forall x A \rightarrow \exists x \lnot A$ es válido con respecto a esta definición de la semántica.
Por otra parte, esto es cierto incluso si podría haber algún modelo en particular $M$ y la propiedad $A$ por los cuales podríamos nunca se sabe si $M \models \forall x A$ o no (porque $M$ es "monstruoso" o la propiedad de Un extraño, y los matemáticos nunca son capaces de resolverlo).
