Suma de la serie de $\frac{x^{3n}}{(n+1)}$

Question

Me piden hallar el intervalo de convergencia de esta serie: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{{x}^{3n}}{n+1}$$

y, a continuación, la suma de la serie.

Intento De Solución:

Claramente, la serie converge al $\vert x \vert<1$.

Me puse a$x^3=y$, de modo que ahora tenemos:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{{y}^{n}}{n+1}$$

sabiendo que $\frac{y^n}{n+1} = \frac{1}{y}* \int y^ndy$ podemos reescribir la serie como: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{{y}^{n}}{n+1} = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty\int y^ndy= \frac{1}{y}\int\sum_{n=0}^\infty y^n = \frac{1}{y}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1-y} =\frac{-1}{y}*ln(1-y) $$

En conclusión $$\sum_{n=0}^\infty \frac{{x}^{3n}}{n+1}=\frac{-1}{x^3}*ln(1-x^3) $$

¿Esto algún sentido?

Answer 1

Usted tiene la idea correcta, pero la ejecución es un poco descuidado. Empezar con $$\frac{y^n}{n+1}=\frac1y\int_0^yt^ndt$$ Entonces $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n+1}=\frac1y\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^yt^ndt=\frac1y\int_0^y\sum_{k=0}^{\infty}t^ndt=\frac1y\int_0^y\frac{dt}{1-t}=-\frac1y\ln(1-y)$$ Donde nos hemos basado en la convergencia uniforme de la suma de $0<y<1$.

Ver la diferencia? No sé qué tomar como límite superior de la integral porque $y$ ya era la variable de integración, de modo que usted eligió $\infty$ y en realidad se crea una divergente integral, lo que podría invalidar la prueba.