demostrando $\left(1+\frac 1n\right)^{n} = 1 + \sum_{k=1}^n \{\frac 1{k!}\prod_{r=0}^{k-1}(1-\frac rn)\}$ usando el teorema del binomio

Question

$$\left(1+\frac 1n\right)^{n} = 1 + \sum\limits_{k=1}^n \left\{\frac 1{k!}\prod_{r=0}^{k-1}\left(1-\frac rn\right)\right\}$$

este ejercicio se toma de Apostol del Cálculo I (página 45) y que se supone que debe ser demostrado mediante el teorema del binomio. Sólo puedo llevar a cabo la expresión de la izquierda de esta manera:

$$\left(1+\frac 1n\right)^{n} = \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^k\left(\frac 1n\right)^{n-k}=1 + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}\frac 1{n^{n-k}}$$

No tengo ni idea de cómo proceder.. cualquier ayuda es muy apreciada, gracias de antemano!

Answer 1

Creo que se puede seguir desde allí: $$\begin{align}{n \choose k}\frac 1{n^{n-k}}&=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!n^{n-k}}\\ &=\frac{1}{k!n^{n-k}}\prod_{r=0}^{k-1}(n-r)\\ &=\frac{1}{k!}\prod_{r=0}^{k-1}\frac{n-r}{n}\end{align}$$

y usted puede hacer el paso final!. Pero para los índices de la suma en el teorema del binomio, se podría escribir: $$(1+\frac 1n)^{n} = \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^k(\frac 1n)^{n-k}=1 + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\frac 1{n^{n-k}}$$ (porque, como usted sabe ${n \choose 0}=1$ y lo escribí en el producto anterior no es ser verdadero id $k=0$ porque en este caso vamos a tener $\prod_{r=1}^{0-1}$ que no tiene sentido)